Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 75600 / 57712
↖ ↑ ↗
← N 21.002471°
E 27.641602°		 ← 285.08 m → N 21.002471°
E 27.644348°		 →
↑
285.10 m
↓
↑
285.10 m
↓
N 20.999907°
E 27.641602°		 ← 285.08 m →
81 276 m²		 N 20.999907°
E 27.644348°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 75600 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 57712 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.576786041259766 y=0.440311431884766 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.576786041259766 × 217)
    floor (0.576786041259766 × 131072)
    floor (75600.5)     		tx = 75600
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.440311431884766 × 217)
    floor (0.440311431884766 × 131072)
    floor (57712.5)     		ty = 57712
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 75600 / 57712 ti = "17/75600/57712"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/75600/57712.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 75600 ÷ 217
    75600 ÷ 131072     		x = 0.5767822265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 57712 ÷ 217
    57712 ÷ 131072     		y = 0.4403076171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5767822265625 × 2 - 1) × π
    0.153564453125 × 3.1415926535     		Λ = 0.48243696
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.4403076171875 × 2 - 1) × π
    0.119384765625 × 3.1415926535     		Φ = 0.375058302627319
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.48243696} λ = 0.48243696}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.375058302627319))-π/2
    2×atan(1.45507624691335)-π/2
    2×0.968679298869109-π/2
    1.93735859773822-1.57079632675     		φ = 0.36656227
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.48243696} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 27.641602°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.36656227 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 21.002471°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 75600 KachelY 57712 0.48243696 0.36656227 27.641602 21.002471
    Oben rechts KachelX + 1 75601 KachelY 57712 0.48248489 0.36656227 27.644348 21.002471
    Unten links KachelX 75600 KachelY + 1 57713 0.48243696 0.36651752 27.641602 20.999907
    Unten rechts KachelX + 1 75601 KachelY + 1 57713 0.48248489 0.36651752 27.644348 20.999907
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.36656227-0.36651752) × R
    4.47500000000378e-05 × 6371000     		dl = 285.102250000241m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.36656227-0.36651752) × R
    4.47500000000378e-05 × 6371000     		dr = 285.102250000241m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.48243696-0.48248489) × cos(0.36656227) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.933564970265346 × 6371000     		do = 285.07529445696m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.48243696-0.48248489) × cos(0.36651752) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.933581008098058 × 6371000     		du = 285.080191802114m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.36656227)-sin(0.36651752))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.933564970265346-0.933581008098058)×R²
    abs(0.48248489-0.48243696)×1.60378327120902e-05×R²
    4.79299999999738e-05×1.60378327120902e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×1.60378327120902e-05×40589641000000     		ar = 81276.3060047457m²