Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 75600 / 55600
↖ ↑ ↗
← N 26.313113°
E 27.641602°		 ← 273.72 m → N 26.313113°
E 27.644348°		 →
↑
273.76 m
↓
↑
273.76 m
↓
N 26.310651°
E 27.641602°		 ← 273.73 m →
74 935 m²		 N 26.310651°
E 27.644348°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 75600 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 55600 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.576786041259766 y=0.424198150634766 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.576786041259766 × 217)
    floor (0.576786041259766 × 131072)
    floor (75600.5)     		tx = 75600
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.424198150634766 × 217)
    floor (0.424198150634766 × 131072)
    floor (55600.5)     		ty = 55600
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 75600 / 55600 ti = "17/75600/55600"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/75600/55600.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 75600 ÷ 217
    75600 ÷ 131072     		x = 0.5767822265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 55600 ÷ 217
    55600 ÷ 131072     		y = 0.4241943359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5767822265625 × 2 - 1) × π
    0.153564453125 × 3.1415926535     		Λ = 0.48243696
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.4241943359375 × 2 - 1) × π
    0.151611328125 × 3.1415926535     		Φ = 0.476301034624878
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.48243696} λ = 0.48243696}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.476301034624878))-π/2
    2×atan(1.61010764116006)-π/2
    2×1.01502338937919-π/2
    2.03004677875839-1.57079632675     		φ = 0.45925045
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.48243696} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 27.641602°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.45925045 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 26.313113°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 75600 KachelY 55600 0.48243696 0.45925045 27.641602 26.313113
    Oben rechts KachelX + 1 75601 KachelY 55600 0.48248489 0.45925045 27.644348 26.313113
    Unten links KachelX 75600 KachelY + 1 55601 0.48243696 0.45920748 27.641602 26.310651
    Unten rechts KachelX + 1 75601 KachelY + 1 55601 0.48248489 0.45920748 27.644348 26.310651
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.45925045-0.45920748) × R
    4.29699999999755e-05 × 6371000     		dl = 273.761869999844m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.45925045-0.45920748) × R
    4.29699999999755e-05 × 6371000     		dr = 273.761869999844m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.48243696-0.48248489) × cos(0.45925045) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.896385007085516 × 6371000     		do = 273.721945425048m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.48243696-0.48248489) × cos(0.45920748) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.896404053842553 × 6371000     		du = 273.727761581442m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.45925045)-sin(0.45920748))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.896385007085516-0.896404053842553)×R²
    abs(0.48248489-0.48243696)×1.90467570370112e-05×R²
    4.79299999999738e-05×1.90467570370112e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×1.90467570370112e-05×40589641000000     		ar = 74935.4277720089m²