Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 7560 / 5002
↖ ↑ ↗
← N 57.207710°
W 13.886718°		 ← 1 323.23 m → N 57.207710°
W 13.864746°		 →
↑
1 323.45 m
↓
↑
1 323.45 m
↓
N 57.195808°
W 13.886718°		 ← 1 323.66 m →
1 751 512 m²		 N 57.195808°
W 13.864746°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7560 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5002 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.461456298828125 y=0.305328369140625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.461456298828125 × 214)
    floor (0.461456298828125 × 16384)
    floor (7560.5)     		tx = 7560
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.305328369140625 × 214)
    floor (0.305328369140625 × 16384)
    floor (5002.5)     		ty = 5002
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7560 / 5002 ti = "14/7560/5002"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7560/5002.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7560 ÷ 214
    7560 ÷ 16384     		x = 0.46142578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5002 ÷ 214
    5002 ÷ 16384     		y = 0.3052978515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.46142578125 × 2 - 1) × π
    -0.0771484375 × 3.1415926535     		Λ = -0.24236896
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3052978515625 × 2 - 1) × π
    0.389404296875 × 3.1415926535     		Φ = 1.22334967830383
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.24236896} λ = -0.24236896}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.22334967830383))-π/2
    2×atan(3.39855274682612)-π/2
    2×1.28462961275405-π/2
    2.56925922550811-1.57079632675     		φ = 0.99846290
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.24236896} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.886718°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.99846290 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 57.207710°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7560 KachelY 5002 -0.24236896 0.99846290 -13.886718 57.207710
    Oben rechts KachelX + 1 7561 KachelY 5002 -0.24198547 0.99846290 -13.864746 57.207710
    Unten links KachelX 7560 KachelY + 1 5003 -0.24236896 0.99825517 -13.886718 57.195808
    Unten rechts KachelX + 1 7561 KachelY + 1 5003 -0.24198547 0.99825517 -13.864746 57.195808
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.99846290-0.99825517) × R
    0.000207730000000073 × 6371000     		dl = 1323.44783000046m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.99846290-0.99825517) × R
    0.000207730000000073 × 6371000     		dr = 1323.44783000046m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.24236896--0.24198547) × cos(0.99846290) × R
    0.000383489999999986 × 0.541595092129933 × 6371000     		do = 1323.23313928322m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.24236896--0.24198547) × cos(0.99825517) × R
    0.000383489999999986 × 0.541769706485045 × 6371000     		du = 1323.65975965817m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.99846290)-sin(0.99825517))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.541595092129933-0.541769706485045)×R²
    abs(-0.24198547--0.24236896)×0.000174614355111458×R²
    0.000383489999999986×0.000174614355111458×6371000²
    0.000383489999999986×0.000174614355111458×40589641000000     		ar = 1751512.33797291m²