Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 75599 / 56874
↖ ↑ ↗
← N 23.135309°
E 27.638855°		 ← 280.86 m → N 23.135309°
E 27.641602°		 →
↑
280.83 m
↓
↑
280.83 m
↓
N 23.132783°
E 27.638855°		 ← 280.87 m →
78 877 m²		 N 23.132783°
E 27.641602°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 75599 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 56874 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.576778411865234 y=0.433917999267578 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.576778411865234 × 217)
    floor (0.576778411865234 × 131072)
    floor (75599.5)     		tx = 75599
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.433917999267578 × 217)
    floor (0.433917999267578 × 131072)
    floor (56874.5)     		ty = 56874
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 75599 / 56874 ti = "17/75599/56874"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/75599/56874.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 75599 ÷ 217
    75599 ÷ 131072     		x = 0.576774597167969
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 56874 ÷ 217
    56874 ÷ 131072     		y = 0.433914184570312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.576774597167969 × 2 - 1) × π
    0.153549194335938 × 3.1415926535     		Λ = 0.48238902
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.433914184570312 × 2 - 1) × π
    0.132171630859375 × 3.1415926535     		Φ = 0.415229424508926
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.48238902} λ = 0.48238902}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.415229424508926))-π/2
    2×atan(1.51471821431352)-π/2
    2×0.987291818372697-π/2
    1.97458363674539-1.57079632675     		φ = 0.40378731
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.48238902} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 27.638855°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.40378731 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 23.135309°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 75599 KachelY 56874 0.48238902 0.40378731 27.638855 23.135309
    Oben rechts KachelX + 1 75600 KachelY 56874 0.48243696 0.40378731 27.641602 23.135309
    Unten links KachelX 75599 KachelY + 1 56875 0.48238902 0.40374323 27.638855 23.132783
    Unten rechts KachelX + 1 75600 KachelY + 1 56875 0.48243696 0.40374323 27.641602 23.132783
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.40378731-0.40374323) × R
    4.40800000000019e-05 × 6371000     		dl = 280.833680000012m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.40378731-0.40374323) × R
    4.40800000000019e-05 × 6371000     		dr = 280.833680000012m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.48238902-0.48243696) × cos(0.40378731) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.919579543835434 × 6371000     		do = 280.863262664941m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.48238902-0.48243696) × cos(0.40374323) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.91959686214527 × 6371000     		du = 280.868552122538m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.40378731)-sin(0.40374323))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.919579543835434-0.91959686214527)×R²
    abs(0.48243696-0.48238902)×1.73183098362006e-05×R²
    4.79400000000241e-05×1.73183098362006e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×1.73183098362006e-05×40589641000000     		ar = 78876.6063727908m²