Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 75598 / 56534
↖ ↑ ↗
← N 23.991272°
E 27.636108°		 ← 279.04 m → N 23.991272°
E 27.638855°		 →
↑
279.05 m
↓
↑
279.05 m
↓
N 23.988762°
E 27.636108°		 ← 279.04 m →
77 867 m²		 N 23.988762°
E 27.638855°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 75598 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 56534 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.576770782470703 y=0.431324005126953 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.576770782470703 × 217)
    floor (0.576770782470703 × 131072)
    floor (75598.5)     		tx = 75598
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.431324005126953 × 217)
    floor (0.431324005126953 × 131072)
    floor (56534.5)     		ty = 56534
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 75598 / 56534 ti = "17/75598/56534"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/75598/56534.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 75598 ÷ 217
    75598 ÷ 131072     		x = 0.576766967773438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 56534 ÷ 217
    56534 ÷ 131072     		y = 0.431320190429688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.576766967773438 × 2 - 1) × π
    0.153533935546875 × 3.1415926535     		Λ = 0.48234108
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.431320190429688 × 2 - 1) × π
    0.137359619140625 × 3.1415926535     		Φ = 0.431527970379745
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.48234108} λ = 0.48234108}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.431527970379745))-π/2
    2×atan(1.5396082029372)-π/2
    2×0.994761501293297-π/2
    1.98952300258659-1.57079632675     		φ = 0.41872668
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.48234108} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 27.636108°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.41872668 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 23.991272°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 75598 KachelY 56534 0.48234108 0.41872668 27.636108 23.991272
    Oben rechts KachelX + 1 75599 KachelY 56534 0.48238902 0.41872668 27.638855 23.991272
    Unten links KachelX 75598 KachelY + 1 56535 0.48234108 0.41868288 27.636108 23.988762
    Unten rechts KachelX + 1 75599 KachelY + 1 56535 0.48238902 0.41868288 27.638855 23.988762
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.41872668-0.41868288) × R
    4.38000000000383e-05 × 6371000     		dl = 279.049800000244m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.41872668-0.41868288) × R
    4.38000000000383e-05 × 6371000     		dr = 279.049800000244m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.48234108-0.48238902) × cos(0.41872668) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.913607409496639 × 6371000     		do = 279.039219115134m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.48234108-0.48238902) × cos(0.41868288) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.913625217589399 × 6371000     		du = 279.044658165043m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.41872668)-sin(0.41868288))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.913607409496639-0.913625217589399)×R²
    abs(0.48238902-0.48234108)×1.78080927599744e-05×R²
    4.79400000000241e-05×1.78080927599744e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×1.78080927599744e-05×40589641000000     		ar = 77866.5971816118m²