Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 75591 / 54599
↖ ↑ ↗
← N 28.750804°
E 27.616883°		 ← 267.72 m → N 28.750804°
E 27.619629°		 →
↑
267.77 m
↓
↑
267.77 m
↓
N 28.748396°
E 27.616883°		 ← 267.72 m →
71 688 m²		 N 28.748396°
E 27.619629°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 75591 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 54599 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.576717376708984 y=0.416561126708984 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.576717376708984 × 217)
    floor (0.576717376708984 × 131072)
    floor (75591.5)     		tx = 75591
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.416561126708984 × 217)
    floor (0.416561126708984 × 131072)
    floor (54599.5)     		ty = 54599
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 75591 / 54599 ti = "17/75591/54599"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/75591/54599.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 75591 ÷ 217
    75591 ÷ 131072     		x = 0.576713562011719
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 54599 ÷ 217
    54599 ÷ 131072     		y = 0.416557312011719
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.576713562011719 × 2 - 1) × π
    0.153427124023438 × 3.1415926535     		Λ = 0.48200553
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.416557312011719 × 2 - 1) × π
    0.166885375976562 × 3.1415926535     		Φ = 0.524285871144554
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.48200553} λ = 0.48200553}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.524285871144554))-π/2
    2×atan(1.68925207388405)-π/2
    2×1.03629626467062-π/2
    2.07259252934124-1.57079632675     		φ = 0.50179620
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.48200553} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 27.616883°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.50179620 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 28.750804°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 75591 KachelY 54599 0.48200553 0.50179620 27.616883 28.750804
    Oben rechts KachelX + 1 75592 KachelY 54599 0.48205346 0.50179620 27.619629 28.750804
    Unten links KachelX 75591 KachelY + 1 54600 0.48200553 0.50175417 27.616883 28.748396
    Unten rechts KachelX + 1 75592 KachelY + 1 54600 0.48205346 0.50175417 27.619629 28.748396
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.50179620-0.50175417) × R
    4.20300000000262e-05 × 6371000     		dl = 267.773130000167m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.50179620-0.50175417) × R
    4.20300000000262e-05 × 6371000     		dr = 267.773130000167m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.48200553-0.48205346) × cos(0.50179620) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.876720002513947 × 6371000     		do = 267.716999709118m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.48200553-0.48205346) × cos(0.50175417) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.876740218214884 × 6371000     		du = 267.723172816594m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.50179620)-sin(0.50175417))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.876720002513947-0.876740218214884)×R²
    abs(0.48205346-0.48200553)×2.02157009370207e-05×R²
    4.79299999999738e-05×2.02157009370207e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×2.02157009370207e-05×40589641000000     		ar = 71688.2454731445m²