Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 75590 / 56973
↖ ↑ ↗
← N 22.885032°
E 27.614136°		 ← 281.38 m → N 22.885032°
E 27.616883°		 →
↑
281.41 m
↓
↑
281.41 m
↓
N 22.882501°
E 27.614136°		 ← 281.39 m →
79 184 m²		 N 22.882501°
E 27.616883°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 75590 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 56973 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.576709747314453 y=0.434673309326172 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.576709747314453 × 217)
    floor (0.576709747314453 × 131072)
    floor (75590.5)     		tx = 75590
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.434673309326172 × 217)
    floor (0.434673309326172 × 131072)
    floor (56973.5)     		ty = 56973
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 75590 / 56973 ti = "17/75590/56973"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/75590/56973.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 75590 ÷ 217
    75590 ÷ 131072     		x = 0.576705932617188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 56973 ÷ 217
    56973 ÷ 131072     		y = 0.434669494628906
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.576705932617188 × 2 - 1) × π
    0.153411865234375 × 3.1415926535     		Λ = 0.48195759
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.434669494628906 × 2 - 1) × π
    0.130661010742188 × 3.1415926535     		Φ = 0.410483671446541
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.48195759} λ = 0.48195759}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.410483671446541))-π/2
    2×atan(1.50754676613009)-π/2
    2×0.985107740980848-π/2
    1.9702154819617-1.57079632675     		φ = 0.39941916
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.48195759} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 27.614136°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.39941916 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 22.885032°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 75590 KachelY 56973 0.48195759 0.39941916 27.614136 22.885032
    Oben rechts KachelX + 1 75591 KachelY 56973 0.48200553 0.39941916 27.616883 22.885032
    Unten links KachelX 75590 KachelY + 1 56974 0.48195759 0.39937499 27.614136 22.882501
    Unten rechts KachelX + 1 75591 KachelY + 1 56974 0.48200553 0.39937499 27.616883 22.882501
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.39941916-0.39937499) × R
    4.417000000001e-05 × 6371000     		dl = 281.407070000064m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.39941916-0.39937499) × R
    4.417000000001e-05 × 6371000     		dr = 281.407070000064m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.48195759-0.48200553) × cos(0.39941916) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.921287028368592 × 6371000     		do = 281.38477239202m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.48195759-0.48200553) × cos(0.39937499) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.921304204444689 × 6371000     		du = 281.390018407772m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.39941916)-sin(0.39937499))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.921287028368592-0.921304204444689)×R²
    abs(0.48200553-0.48195759)×1.71760760965256e-05×R²
    4.79400000000241e-05×1.71760760965256e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×1.71760760965256e-05×40589641000000     		ar = 79184.4024873887m²