Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 7559 / 6997
↖ ↑ ↗
← N 25.383735°
W 13.908691°		 ← 2 207.40 m → N 25.383735°
W 13.886718°		 →
↑
2 207.55 m
↓
↑
2 207.55 m
↓
N 25.363882°
W 13.908691°		 ← 2 207.76 m →
4 873 343 m²		 N 25.363882°
W 13.886718°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7559 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6997 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.461395263671875 y=0.427093505859375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.461395263671875 × 214)
    floor (0.461395263671875 × 16384)
    floor (7559.5)     		tx = 7559
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.427093505859375 × 214)
    floor (0.427093505859375 × 16384)
    floor (6997.5)     		ty = 6997
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7559 / 6997 ti = "14/7559/6997"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7559/6997.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7559 ÷ 214
    7559 ÷ 16384     		x = 0.46136474609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6997 ÷ 214
    6997 ÷ 16384     		y = 0.42706298828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.46136474609375 × 2 - 1) × π
    -0.0772705078125 × 3.1415926535     		Λ = -0.24275246
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.42706298828125 × 2 - 1) × π
    0.1458740234375 × 3.1415926535     		Φ = 0.458276760367737
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.24275246} λ = -0.24275246}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.458276760367737))-π/2
    2×atan(1.58134659656994)-π/2
    2×1.00691304171613-π/2
    2.01382608343226-1.57079632675     		φ = 0.44302976
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.24275246} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.908691°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.44302976 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 25.383735°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7559 KachelY 6997 -0.24275246 0.44302976 -13.908691 25.383735
    Oben rechts KachelX + 1 7560 KachelY 6997 -0.24236896 0.44302976 -13.886718 25.383735
    Unten links KachelX 7559 KachelY + 1 6998 -0.24275246 0.44268326 -13.908691 25.363882
    Unten rechts KachelX + 1 7560 KachelY + 1 6998 -0.24236896 0.44268326 -13.886718 25.363882
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.44302976-0.44268326) × R
    0.000346499999999972 × 6371000     		dl = 2207.55149999982m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.44302976-0.44268326) × R
    0.000346499999999972 × 6371000     		dr = 2207.55149999982m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.24275246--0.24236896) × cos(0.44302976) × R
    0.000383500000000009 × 0.903457018284435 × 6371000     		do = 2207.39710844852m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.24275246--0.24236896) × cos(0.44268326) × R
    0.000383500000000009 × 0.903605501210735 × 6371000     		du = 2207.75989358996m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.44302976)-sin(0.44268326))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.903457018284435-0.903605501210735)×R²
    abs(-0.24236896--0.24275246)×0.000148482926299986×R²
    0.000383500000000009×0.000148482926299986×6371000²
    0.000383500000000009×0.000148482926299986×40589641000000     		ar = 4873343.28005055m²