Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 7559 / 5145
↖ ↑ ↗
← N 55.466399°
W 13.908691°		 ← 1 385.07 m → N 55.466399°
W 13.886718°		 →
↑
1 385.25 m
↓
↑
1 385.25 m
↓
N 55.453941°
W 13.908691°		 ← 1 385.51 m →
1 918 965 m²		 N 55.453941°
W 13.886718°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7559 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5145 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.461395263671875 y=0.314056396484375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.461395263671875 × 214)
    floor (0.461395263671875 × 16384)
    floor (7559.5)     		tx = 7559
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.314056396484375 × 214)
    floor (0.314056396484375 × 16384)
    floor (5145.5)     		ty = 5145
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7559 / 5145 ti = "14/7559/5145"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7559/5145.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7559 ÷ 214
    7559 ÷ 16384     		x = 0.46136474609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5145 ÷ 214
    5145 ÷ 16384     		y = 0.31402587890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.46136474609375 × 2 - 1) × π
    -0.0772705078125 × 3.1415926535     		Λ = -0.24275246
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.31402587890625 × 2 - 1) × π
    0.3719482421875 × 3.1415926535     		Φ = 1.16850986513849
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.24275246} λ = -0.24275246}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.16850986513849))-π/2
    2×atan(3.21719501041851)-π/2
    2×1.26943380995139-π/2
    2.53886761990277-1.57079632675     		φ = 0.96807129
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.24275246} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.908691°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.96807129 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 55.466399°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7559 KachelY 5145 -0.24275246 0.96807129 -13.908691 55.466399
    Oben rechts KachelX + 1 7560 KachelY 5145 -0.24236896 0.96807129 -13.886718 55.466399
    Unten links KachelX 7559 KachelY + 1 5146 -0.24275246 0.96785386 -13.908691 55.453941
    Unten rechts KachelX + 1 7560 KachelY + 1 5146 -0.24236896 0.96785386 -13.886718 55.453941
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.96807129-0.96785386) × R
    0.000217430000000074 × 6371000     		dl = 1385.24653000047m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.96807129-0.96785386) × R
    0.000217430000000074 × 6371000     		dr = 1385.24653000047m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.24275246--0.24236896) × cos(0.96807129) × R
    0.000383500000000009 × 0.56688944406332 × 6371000     		do = 1385.06879055689m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.24275246--0.24236896) × cos(0.96785386) × R
    0.000383500000000009 × 0.567068548165355 × 6371000     		du = 1385.50639175866m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.96807129)-sin(0.96785386))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.56688944406332-0.567068548165355)×R²
    abs(-0.24236896--0.24275246)×0.000179104102035588×R²
    0.000383500000000009×0.000179104102035588×6371000²
    0.000383500000000009×0.000179104102035588×40589641000000     		ar = 1918964.83626325m²