Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 7559 / 10307
↖ ↑ ↗
← S 42.081917°
W 13.908691°		 ← 1 813.37 m → S 42.081917°
W 13.886718°		 →
↑
1 813.12 m
↓
↑
1 813.12 m
↓
S 42.098222°
W 13.908691°		 ← 1 812.90 m →
3 287 441 m²		 S 42.098222°
W 13.886718°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7559 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10307 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.461395263671875 y=0.629119873046875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.461395263671875 × 214)
    floor (0.461395263671875 × 16384)
    floor (7559.5)     		tx = 7559
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.629119873046875 × 214)
    floor (0.629119873046875 × 16384)
    floor (10307.5)     		ty = 10307
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7559 / 10307 ti = "14/7559/10307"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7559/10307.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7559 ÷ 214
    7559 ÷ 16384     		x = 0.46136474609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10307 ÷ 214
    10307 ÷ 16384     		y = 0.62908935546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.46136474609375 × 2 - 1) × π
    -0.0772705078125 × 3.1415926535     		Λ = -0.24275246
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.62908935546875 × 2 - 1) × π
    -0.2581787109375 × 3.1415926535     		Φ = -0.81109234157135
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.24275246} λ = -0.24275246}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.81109234157135))-π/2
    2×atan(0.444372394571815)-π/2
    2×0.418164162612871-π/2
    0.836328325225742-1.57079632675     		φ = -0.73446800
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.24275246} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.908691°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.73446800 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -42.081917°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7559 KachelY 10307 -0.24275246 -0.73446800 -13.908691 -42.081917
    Oben rechts KachelX + 1 7560 KachelY 10307 -0.24236896 -0.73446800 -13.886718 -42.081917
    Unten links KachelX 7559 KachelY + 1 10308 -0.24275246 -0.73475259 -13.908691 -42.098222
    Unten rechts KachelX + 1 7560 KachelY + 1 10308 -0.24236896 -0.73475259 -13.886718 -42.098222
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.73446800--0.73475259) × R
    0.000284590000000029 × 6371000     		dl = 1813.12289000018m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.73446800--0.73475259) × R
    0.000284590000000029 × 6371000     		dr = 1813.12289000018m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.24275246--0.24236896) × cos(-0.73446800) × R
    0.000383500000000009 × 0.742187400774348 × 6371000     		do = 1813.37051928289m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.24275246--0.24236896) × cos(-0.73475259) × R
    0.000383500000000009 × 0.741996640664448 × 6371000     		du = 1812.90443920771m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.73446800)-sin(-0.73475259))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.742187400774348-0.741996640664448)×R²
    abs(-0.24236896--0.24275246)×0.000190760109899935×R²
    0.000383500000000009×0.000190760109899935×6371000²
    0.000383500000000009×0.000190760109899935×40589641000000     		ar = 3287441.08852483m²