Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 75589 / 56972
↖ ↑ ↗
← N 22.887562°
E 27.611389°		 ← 281.38 m → N 22.887562°
E 27.614136°		 →
↑
281.34 m
↓
↑
281.34 m
↓
N 22.885032°
E 27.611389°		 ← 281.38 m →
79 165 m²		 N 22.885032°
E 27.614136°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 75589 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 56972 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.576702117919922 y=0.434665679931641 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.576702117919922 × 217)
    floor (0.576702117919922 × 131072)
    floor (75589.5)     		tx = 75589
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.434665679931641 × 217)
    floor (0.434665679931641 × 131072)
    floor (56972.5)     		ty = 56972
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 75589 / 56972 ti = "17/75589/56972"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/75589/56972.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 75589 ÷ 217
    75589 ÷ 131072     		x = 0.576698303222656
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 56972 ÷ 217
    56972 ÷ 131072     		y = 0.434661865234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.576698303222656 × 2 - 1) × π
    0.153396606445312 × 3.1415926535     		Λ = 0.48190965
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.434661865234375 × 2 - 1) × π
    0.13067626953125 × 3.1415926535     		Φ = 0.410531608346161
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.48190965} λ = 0.48190965}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.410531608346161))-π/2
    2×atan(1.50761903498025)-π/2
    2×0.985129822596964-π/2
    1.97025964519393-1.57079632675     		φ = 0.39946332
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.48190965} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 27.611389°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.39946332 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 22.887562°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 75589 KachelY 56972 0.48190965 0.39946332 27.611389 22.887562
    Oben rechts KachelX + 1 75590 KachelY 56972 0.48195759 0.39946332 27.614136 22.887562
    Unten links KachelX 75589 KachelY + 1 56973 0.48190965 0.39941916 27.611389 22.885032
    Unten rechts KachelX + 1 75590 KachelY + 1 56973 0.48195759 0.39941916 27.614136 22.885032
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.39946332-0.39941916) × R
    4.41600000000153e-05 × 6371000     		dl = 281.343360000097m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.39946332-0.39941916) × R
    4.41600000000153e-05 × 6371000     		dr = 281.343360000097m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.48190965-0.48195759) × cos(0.39946332) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.921269854384315 × 6371000     		do = 281.379527014837m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.48190965-0.48195759) × cos(0.39941916) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.921287028368592 × 6371000     		du = 281.384772391694m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.39946332)-sin(0.39941916))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.921269854384315-0.921287028368592)×R²
    abs(0.48195759-0.48190965)×1.71739842774743e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.71739842774743e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.71739842774743e-05×40589641000000     		ar = 79164.9994544393m²