Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 75588 / 55364
↖ ↑ ↗
← N 26.892679°
E 27.608642°		 ← 272.40 m → N 26.892679°
E 27.611389°		 →
↑
272.36 m
↓
↑
272.36 m
↓
N 26.890229°
E 27.608642°		 ← 272.40 m →
74 191 m²		 N 26.890229°
E 27.611389°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 75588 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 55364 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.576694488525391 y=0.422397613525391 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.576694488525391 × 217)
    floor (0.576694488525391 × 131072)
    floor (75588.5)     		tx = 75588
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.422397613525391 × 217)
    floor (0.422397613525391 × 131072)
    floor (55364.5)     		ty = 55364
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 75588 / 55364 ti = "17/75588/55364"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/75588/55364.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 75588 ÷ 217
    75588 ÷ 131072     		x = 0.576690673828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 55364 ÷ 217
    55364 ÷ 131072     		y = 0.422393798828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.576690673828125 × 2 - 1) × π
    0.15338134765625 × 3.1415926535     		Λ = 0.48186171
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.422393798828125 × 2 - 1) × π
    0.15521240234375 × 3.1415926535     		Φ = 0.487614142935211
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.48186171} λ = 0.48186171}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.487614142935211))-π/2
    2×atan(1.62842638890565)-π/2
    2×1.02008106084416-π/2
    2.04016212168832-1.57079632675     		φ = 0.46936579
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.48186171} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 27.608642°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.46936579 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 26.892679°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 75588 KachelY 55364 0.48186171 0.46936579 27.608642 26.892679
    Oben rechts KachelX + 1 75589 KachelY 55364 0.48190965 0.46936579 27.611389 26.892679
    Unten links KachelX 75588 KachelY + 1 55365 0.48186171 0.46932304 27.608642 26.890229
    Unten rechts KachelX + 1 75589 KachelY + 1 55365 0.48190965 0.46932304 27.611389 26.890229
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.46936579-0.46932304) × R
    4.27499999999803e-05 × 6371000     		dl = 272.360249999874m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.46936579-0.46932304) × R
    4.27499999999803e-05 × 6371000     		dr = 272.360249999874m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.48186171-0.48190965) × cos(0.46936579) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.891855333882796 × 6371000     		do = 272.395575324237m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.48186171-0.48190965) × cos(0.46932304) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.891874669780012 × 6371000     		du = 272.401481004953m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.46936579)-sin(0.46932304))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.891855333882796-0.891874669780012)×R²
    abs(0.48190965-0.48186171)×1.93358972161439e-05×R²
    4.79400000000241e-05×1.93358972161439e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×1.93358972161439e-05×40589641000000     		ar = 74190.5312417672m²