Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 75587 / 54601
↖ ↑ ↗
← N 28.745989°
E 27.605896°		 ← 267.73 m → N 28.745989°
E 27.608642°		 →
↑
267.77 m
↓
↑
267.77 m
↓
N 28.743581°
E 27.605896°		 ← 267.74 m →
71 692 m²		 N 28.743581°
E 27.608642°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 75587 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 54601 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.576686859130859 y=0.416576385498047 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.576686859130859 × 217)
    floor (0.576686859130859 × 131072)
    floor (75587.5)     		tx = 75587
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.416576385498047 × 217)
    floor (0.416576385498047 × 131072)
    floor (54601.5)     		ty = 54601
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 75587 / 54601 ti = "17/75587/54601"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/75587/54601.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 75587 ÷ 217
    75587 ÷ 131072     		x = 0.576683044433594
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 54601 ÷ 217
    54601 ÷ 131072     		y = 0.416572570800781
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.576683044433594 × 2 - 1) × π
    0.153366088867188 × 3.1415926535     		Λ = 0.48181378
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.416572570800781 × 2 - 1) × π
    0.166854858398438 × 3.1415926535     		Φ = 0.524189997345314
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.48181378} λ = 0.48181378}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.524189997345314))-π/2
    2×atan(1.68909012663323)-π/2
    2×1.03625423646291-π/2
    2.07250847292581-1.57079632675     		φ = 0.50171215
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.48181378} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 27.605896°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.50171215 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 28.745989°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 75587 KachelY 54601 0.48181378 0.50171215 27.605896 28.745989
    Oben rechts KachelX + 1 75588 KachelY 54601 0.48186171 0.50171215 27.608642 28.745989
    Unten links KachelX 75587 KachelY + 1 54602 0.48181378 0.50167012 27.605896 28.743581
    Unten rechts KachelX + 1 75588 KachelY + 1 54602 0.48186171 0.50167012 27.608642 28.743581
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.50171215-0.50167012) × R
    4.20300000000262e-05 × 6371000     		dl = 267.773130000167m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.50171215-0.50167012) × R
    4.20300000000262e-05 × 6371000     		dr = 267.773130000167m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.48181378-0.48186171) × cos(0.50171215) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.876760427557768 × 6371000     		do = 267.729343982562m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.48181378-0.48186171) × cos(0.50167012) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.876780640161478 × 6371000     		du = 267.735516144262m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.50171215)-sin(0.50167012))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.876760427557768-0.876780640161478)×R²
    abs(0.48186171-0.48181378)×2.02126037101014e-05×R²
    4.79299999999738e-05×2.02126037101014e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×2.02126037101014e-05×40589641000000     		ar = 71691.5508112421m²