Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 75586 / 55587
↖ ↑ ↗
← N 26.345114°
E 27.603149°		 ← 273.70 m → N 26.345114°
E 27.605896°		 →
↑
273.63 m
↓
↑
273.63 m
↓
N 26.342653°
E 27.603149°		 ← 273.71 m →
74 895 m²		 N 26.342653°
E 27.605896°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 75586 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 55587 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.576679229736328 y=0.424098968505859 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.576679229736328 × 217)
    floor (0.576679229736328 × 131072)
    floor (75586.5)     		tx = 75586
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.424098968505859 × 217)
    floor (0.424098968505859 × 131072)
    floor (55587.5)     		ty = 55587
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 75586 / 55587 ti = "17/75586/55587"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/75586/55587.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 75586 ÷ 217
    75586 ÷ 131072     		x = 0.576675415039062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 55587 ÷ 217
    55587 ÷ 131072     		y = 0.424095153808594
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.576675415039062 × 2 - 1) × π
    0.153350830078125 × 3.1415926535     		Λ = 0.48176584
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.424095153808594 × 2 - 1) × π
    0.151809692382812 × 3.1415926535     		Φ = 0.476924214319939
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.48176584} λ = 0.48176584}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.476924214319939))-π/2
    2×atan(1.61111134025886)-π/2
    2×1.01530265525799-π/2
    2.03060531051598-1.57079632675     		φ = 0.45980898
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.48176584} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 27.603149°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.45980898 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 26.345114°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 75586 KachelY 55587 0.48176584 0.45980898 27.603149 26.345114
    Oben rechts KachelX + 1 75587 KachelY 55587 0.48181378 0.45980898 27.605896 26.345114
    Unten links KachelX 75586 KachelY + 1 55588 0.48176584 0.45976603 27.603149 26.342653
    Unten rechts KachelX + 1 75587 KachelY + 1 55588 0.48181378 0.45976603 27.605896 26.342653
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.45980898-0.45976603) × R
    4.29499999999861e-05 × 6371000     		dl = 273.634449999911m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.45980898-0.45976603) × R
    4.29499999999861e-05 × 6371000     		dr = 273.634449999911m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.48176584-0.48181378) × cos(0.45980898) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.896137284144533 × 6371000     		do = 273.703393151572m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.48176584-0.48181378) × cos(0.45976603) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.896156343537329 × 6371000     		du = 273.70921438072m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.45980898)-sin(0.45976603))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.896137284144533-0.896156343537329)×R²
    abs(0.48181378-0.48176584)×1.90593927955618e-05×R²
    4.79400000000241e-05×1.90593927955618e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×1.90593927955618e-05×40589641000000     		ar = 74895.4739039731m²