Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 75586 / 54598
↖ ↑ ↗
← N 28.753213°
E 27.603149°		 ← 267.77 m → N 28.753213°
E 27.605896°		 →
↑
267.77 m
↓
↑
267.77 m
↓
N 28.750804°
E 27.603149°		 ← 267.77 m →
71 702 m²		 N 28.750804°
E 27.605896°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 75586 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 54598 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.576679229736328 y=0.416553497314453 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.576679229736328 × 217)
    floor (0.576679229736328 × 131072)
    floor (75586.5)     		tx = 75586
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.416553497314453 × 217)
    floor (0.416553497314453 × 131072)
    floor (54598.5)     		ty = 54598
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 75586 / 54598 ti = "17/75586/54598"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/75586/54598.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 75586 ÷ 217
    75586 ÷ 131072     		x = 0.576675415039062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 54598 ÷ 217
    54598 ÷ 131072     		y = 0.416549682617188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.576675415039062 × 2 - 1) × π
    0.153350830078125 × 3.1415926535     		Λ = 0.48176584
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.416549682617188 × 2 - 1) × π
    0.166900634765625 × 3.1415926535     		Φ = 0.524333808044174
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.48176584} λ = 0.48176584}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.524333808044174))-π/2
    2×atan(1.68933305333209)-π/2
    2×1.0363172780477-π/2
    2.0726345560954-1.57079632675     		φ = 0.50183823
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.48176584} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 27.603149°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.50183823 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 28.753213°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 75586 KachelY 54598 0.48176584 0.50183823 27.603149 28.753213
    Oben rechts KachelX + 1 75587 KachelY 54598 0.48181378 0.50183823 27.605896 28.753213
    Unten links KachelX 75586 KachelY + 1 54599 0.48176584 0.50179620 27.603149 28.750804
    Unten rechts KachelX + 1 75587 KachelY + 1 54599 0.48181378 0.50179620 27.605896 28.750804
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.50183823-0.50179620) × R
    4.20300000000262e-05 × 6371000     		dl = 267.773130000167m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.50183823-0.50179620) × R
    4.20300000000262e-05 × 6371000     		dr = 267.773130000167m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.48176584-0.48181378) × cos(0.50183823) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.876699785264266 × 6371000     		do = 267.766680672314m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.48176584-0.48181378) × cos(0.50179620) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.876720002513947 × 6371000     		du = 267.772855540759m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.50183823)-sin(0.50179620))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.876699785264266-0.876720002513947)×R²
    abs(0.48181378-0.48176584)×2.02172496812647e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.02172496812647e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.02172496812647e-05×40589641000000     		ar = 71701.5489357843m²