Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 75586 / 54595
↖ ↑ ↗
← N 28.760436°
E 27.603149°		 ← 267.75 m → N 28.760436°
E 27.605896°		 →
↑
267.71 m
↓
↑
267.71 m
↓
N 28.758028°
E 27.603149°		 ← 267.75 m →
71 680 m²		 N 28.758028°
E 27.605896°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 75586 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 54595 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.576679229736328 y=0.416530609130859 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.576679229736328 × 217)
    floor (0.576679229736328 × 131072)
    floor (75586.5)     		tx = 75586
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.416530609130859 × 217)
    floor (0.416530609130859 × 131072)
    floor (54595.5)     		ty = 54595
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 75586 / 54595 ti = "17/75586/54595"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/75586/54595.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 75586 ÷ 217
    75586 ÷ 131072     		x = 0.576675415039062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 54595 ÷ 217
    54595 ÷ 131072     		y = 0.416526794433594
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.576675415039062 × 2 - 1) × π
    0.153350830078125 × 3.1415926535     		Λ = 0.48176584
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.416526794433594 × 2 - 1) × π
    0.166946411132812 × 3.1415926535     		Φ = 0.524477618743034
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.48176584} λ = 0.48176584}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.524477618743034))-π/2
    2×atan(1.68957601496892)-π/2
    2×1.03638031527153-π/2
    2.07276063054306-1.57079632675     		φ = 0.50196430
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.48176584} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 27.603149°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.50196430 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 28.760436°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 75586 KachelY 54595 0.48176584 0.50196430 27.603149 28.760436
    Oben rechts KachelX + 1 75587 KachelY 54595 0.48181378 0.50196430 27.605896 28.760436
    Unten links KachelX 75586 KachelY + 1 54596 0.48176584 0.50192228 27.603149 28.758028
    Unten rechts KachelX + 1 75587 KachelY + 1 54596 0.48181378 0.50192228 27.605896 28.758028
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.50196430-0.50192228) × R
    4.2019999999976e-05 × 6371000     		dl = 267.709419999847m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.50196430-0.50192228) × R
    4.2019999999976e-05 × 6371000     		dr = 267.709419999847m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.48176584-0.48181378) × cos(0.50196430) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.876639133846083 × 6371000     		do = 267.748156168034m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.48176584-0.48181378) × cos(0.50192228) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.87665935092993 × 6371000     		du = 267.754330985828m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.50196430)-sin(0.50192228))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.876639133846083-0.87665935092993)×R²
    abs(0.48181378-0.48176584)×2.02170838465854e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.02170838465854e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.02170838465854e-05×40589641000000     		ar = 71679.5301327954m²