Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 75585 / 61507
↖ ↑ ↗
← N 10.997816°
E 27.600403°		 ← 299.82 m → N 10.997816°
E 27.603149°		 →
↑
299.76 m
↓
↑
299.76 m
↓
N 10.995120°
E 27.600403°		 ← 299.82 m →
89 872 m²		 N 10.995120°
E 27.603149°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 75585 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 61507 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.576671600341797 y=0.469264984130859 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.576671600341797 × 217)
    floor (0.576671600341797 × 131072)
    floor (75585.5)     		tx = 75585
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.469264984130859 × 217)
    floor (0.469264984130859 × 131072)
    floor (61507.5)     		ty = 61507
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 75585 / 61507 ti = "17/75585/61507"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/75585/61507.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 75585 ÷ 217
    75585 ÷ 131072     		x = 0.576667785644531
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 61507 ÷ 217
    61507 ÷ 131072     		y = 0.469261169433594
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.576667785644531 × 2 - 1) × π
    0.153335571289062 × 3.1415926535     		Λ = 0.48171790
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.469261169433594 × 2 - 1) × π
    0.0614776611328125 × 3.1415926535     		Φ = 0.193137768569206
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.48171790} λ = 0.48171790}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.193137768569206))-π/2
    2×atan(1.21304990215709)-π/2
    2×0.881372214585167-π/2
    1.76274442917033-1.57079632675     		φ = 0.19194810
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.48171790} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 27.600403°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.19194810 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 10.997816°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 75585 KachelY 61507 0.48171790 0.19194810 27.600403 10.997816
    Oben rechts KachelX + 1 75586 KachelY 61507 0.48176584 0.19194810 27.603149 10.997816
    Unten links KachelX 75585 KachelY + 1 61508 0.48171790 0.19190105 27.600403 10.995120
    Unten rechts KachelX + 1 75586 KachelY + 1 61508 0.48176584 0.19190105 27.603149 10.995120
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.19194810-0.19190105) × R
    4.70500000000207e-05 × 6371000     		dl = 299.755550000132m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.19194810-0.19190105) × R
    4.70500000000207e-05 × 6371000     		dr = 299.755550000132m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.48171790-0.48176584) × cos(0.19194810) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.98163445593827 × 6371000     		do = 299.816430114594m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.48171790-0.48176584) × cos(0.19190105) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.981643430654481 × 6371000     		du = 299.819171223934m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.19194810)-sin(0.19190105))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.98163445593827-0.981643430654481)×R²
    abs(0.48176584-0.48171790)×8.97471621119639e-06×R²
    4.79400000000241e-05×8.97471621119639e-06×6371000²
    4.79400000000241e-05×8.97471621119639e-06×40589641000000     		ar = 89872.0497560587m²