Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 75585 / 54603
↖ ↑ ↗
← N 28.741172°
E 27.600403°		 ← 267.80 m → N 28.741172°
E 27.603149°		 →
↑
267.84 m
↓
↑
267.84 m
↓
N 28.738764°
E 27.600403°		 ← 267.80 m →
71 727 m²		 N 28.738764°
E 27.603149°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 75585 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 54603 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.576671600341797 y=0.416591644287109 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.576671600341797 × 217)
    floor (0.576671600341797 × 131072)
    floor (75585.5)     		tx = 75585
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.416591644287109 × 217)
    floor (0.416591644287109 × 131072)
    floor (54603.5)     		ty = 54603
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 75585 / 54603 ti = "17/75585/54603"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/75585/54603.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 75585 ÷ 217
    75585 ÷ 131072     		x = 0.576667785644531
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 54603 ÷ 217
    54603 ÷ 131072     		y = 0.416587829589844
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.576667785644531 × 2 - 1) × π
    0.153335571289062 × 3.1415926535     		Λ = 0.48171790
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.416587829589844 × 2 - 1) × π
    0.166824340820312 × 3.1415926535     		Φ = 0.524094123546074
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.48171790} λ = 0.48171790}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.524094123546074))-π/2
    2×atan(1.68892819490816)-π/2
    2×1.0362122063173-π/2
    2.0724244126346-1.57079632675     		φ = 0.50162809
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.48171790} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 27.600403°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.50162809 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 28.741172°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 75585 KachelY 54603 0.48171790 0.50162809 27.600403 28.741172
    Oben rechts KachelX + 1 75586 KachelY 54603 0.48176584 0.50162809 27.603149 28.741172
    Unten links KachelX 75585 KachelY + 1 54604 0.48171790 0.50158605 27.600403 28.738764
    Unten rechts KachelX + 1 75586 KachelY + 1 54604 0.48176584 0.50158605 27.603149 28.738764
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.50162809-0.50158605) × R
    4.20399999999654e-05 × 6371000     		dl = 267.83683999978m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.50162809-0.50158605) × R
    4.20399999999654e-05 × 6371000     		dr = 267.83683999978m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.48171790-0.48176584) × cos(0.50162809) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.876800851216336 × 6371000     		do = 267.797548815514m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.48171790-0.48176584) × cos(0.50158605) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.876821065530476 × 6371000     		du = 267.803722787369m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.50162809)-sin(0.50158605))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.876800851216336-0.876821065530476)×R²
    abs(0.48176584-0.48171790)×2.02143141400102e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.02143141400102e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.02143141400102e-05×40589641000000     		ar = 71726.8760535398m²