Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 75583 / 54605
↖ ↑ ↗
← N 28.736356°
E 27.594910°		 ← 267.81 m → N 28.736356°
E 27.597656°		 →
↑
267.77 m
↓
↑
267.77 m
↓
N 28.733947°
E 27.594910°		 ← 267.82 m →
71 713 m²		 N 28.733947°
E 27.597656°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 75583 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 54605 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.576656341552734 y=0.416606903076172 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.576656341552734 × 217)
    floor (0.576656341552734 × 131072)
    floor (75583.5)     		tx = 75583
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.416606903076172 × 217)
    floor (0.416606903076172 × 131072)
    floor (54605.5)     		ty = 54605
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 75583 / 54605 ti = "17/75583/54605"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/75583/54605.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 75583 ÷ 217
    75583 ÷ 131072     		x = 0.576652526855469
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 54605 ÷ 217
    54605 ÷ 131072     		y = 0.416603088378906
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.576652526855469 × 2 - 1) × π
    0.153305053710938 × 3.1415926535     		Λ = 0.48162203
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.416603088378906 × 2 - 1) × π
    0.166793823242188 × 3.1415926535     		Φ = 0.523998249746834
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.48162203} λ = 0.48162203}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.523998249746834))-π/2
    2×atan(1.68876627870735)-π/2
    2×1.036170174234-π/2
    2.072340348468-1.57079632675     		φ = 0.50154402
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.48162203} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 27.594910°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.50154402 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 28.736356°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 75583 KachelY 54605 0.48162203 0.50154402 27.594910 28.736356
    Oben rechts KachelX + 1 75584 KachelY 54605 0.48166997 0.50154402 27.597656 28.736356
    Unten links KachelX 75583 KachelY + 1 54606 0.48162203 0.50150199 27.594910 28.733947
    Unten rechts KachelX + 1 75584 KachelY + 1 54606 0.48166997 0.50150199 27.597656 28.733947
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.50154402-0.50150199) × R
    4.20300000000262e-05 × 6371000     		dl = 267.773130000167m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.50154402-0.50150199) × R
    4.20300000000262e-05 × 6371000     		dr = 267.773130000167m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.48162203-0.48166997) × cos(0.50154402) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.876841273487157 × 6371000     		do = 267.809894817492m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.48162203-0.48166997) × cos(0.50150199) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.876861479894879 × 6371000     		du = 267.816066374523m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.50154402)-sin(0.50150199))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.876841273487157-0.876861479894879)×R²
    abs(0.48166997-0.48162203)×2.02064077219344e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.02064077219344e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.02064077219344e-05×40589641000000     		ar = 71713.1200793436m²