Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 75583 / 54602
↖ ↑ ↗
← N 28.743581°
E 27.594910°		 ← 267.79 m → N 28.743581°
E 27.597656°		 →
↑
267.77 m
↓
↑
267.77 m
↓
N 28.741172°
E 27.594910°		 ← 267.80 m →
71 708 m²		 N 28.741172°
E 27.597656°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 75583 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 54602 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.576656341552734 y=0.416584014892578 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.576656341552734 × 217)
    floor (0.576656341552734 × 131072)
    floor (75583.5)     		tx = 75583
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.416584014892578 × 217)
    floor (0.416584014892578 × 131072)
    floor (54602.5)     		ty = 54602
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 75583 / 54602 ti = "17/75583/54602"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/75583/54602.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 75583 ÷ 217
    75583 ÷ 131072     		x = 0.576652526855469
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 54602 ÷ 217
    54602 ÷ 131072     		y = 0.416580200195312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.576652526855469 × 2 - 1) × π
    0.153305053710938 × 3.1415926535     		Λ = 0.48162203
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.416580200195312 × 2 - 1) × π
    0.166839599609375 × 3.1415926535     		Φ = 0.524142060445694
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.48162203} λ = 0.48162203}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.524142060445694))-π/2
    2×atan(1.68900915883006)-π/2
    2×1.03623322163233-π/2
    2.07246644326465-1.57079632675     		φ = 0.50167012
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.48162203} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 27.594910°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.50167012 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 28.743581°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 75583 KachelY 54602 0.48162203 0.50167012 27.594910 28.743581
    Oben rechts KachelX + 1 75584 KachelY 54602 0.48166997 0.50167012 27.597656 28.743581
    Unten links KachelX 75583 KachelY + 1 54603 0.48162203 0.50162809 27.594910 28.741172
    Unten rechts KachelX + 1 75584 KachelY + 1 54603 0.48166997 0.50162809 27.597656 28.741172
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.50167012-0.50162809) × R
    4.20300000000262e-05 × 6371000     		dl = 267.773130000167m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.50167012-0.50162809) × R
    4.20300000000262e-05 × 6371000     		dr = 267.773130000167m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.48162203-0.48166997) × cos(0.50167012) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.876780640161478 × 6371000     		do = 267.791375839127m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.48162203-0.48166997) × cos(0.50162809) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.876800851216336 × 6371000     		du = 267.797548815514m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.50167012)-sin(0.50162809))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.876780640161478-0.876800851216336)×R²
    abs(0.48166997-0.48162203)×2.02110548586099e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.02110548586099e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.02110548586099e-05×40589641000000     		ar = 71708.1613846142m²