Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 75583 / 54592
↖ ↑ ↗
← N 28.767659°
E 27.594910°		 ← 267.73 m → N 28.767659°
E 27.597656°		 →
↑
267.71 m
↓
↑
267.71 m
↓
N 28.765252°
E 27.594910°		 ← 267.74 m →
71 675 m²		 N 28.765252°
E 27.597656°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 75583 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 54592 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.576656341552734 y=0.416507720947266 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.576656341552734 × 217)
    floor (0.576656341552734 × 131072)
    floor (75583.5)     		tx = 75583
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.416507720947266 × 217)
    floor (0.416507720947266 × 131072)
    floor (54592.5)     		ty = 54592
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 75583 / 54592 ti = "17/75583/54592"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/75583/54592.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 75583 ÷ 217
    75583 ÷ 131072     		x = 0.576652526855469
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 54592 ÷ 217
    54592 ÷ 131072     		y = 0.41650390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.576652526855469 × 2 - 1) × π
    0.153305053710938 × 3.1415926535     		Λ = 0.48162203
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.41650390625 × 2 - 1) × π
    0.1669921875 × 3.1415926535     		Φ = 0.524621429441894
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.48162203} λ = 0.48162203}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.524621429441894))-π/2
    2×atan(1.68981901154874)-π/2
    2×1.0364433481337-π/2
    2.07288669626739-1.57079632675     		φ = 0.50209037
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.48162203} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 27.594910°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.50209037 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 28.767659°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 75583 KachelY 54592 0.48162203 0.50209037 27.594910 28.767659
    Oben rechts KachelX + 1 75584 KachelY 54592 0.48166997 0.50209037 27.597656 28.767659
    Unten links KachelX 75583 KachelY + 1 54593 0.48162203 0.50204835 27.594910 28.765252
    Unten rechts KachelX + 1 75584 KachelY + 1 54593 0.48166997 0.50204835 27.597656 28.765252
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.50209037-0.50204835) × R
    4.2019999999976e-05 × 6371000     		dl = 267.709419999847m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.50209037-0.50204835) × R
    4.2019999999976e-05 × 6371000     		dr = 267.709419999847m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.48162203-0.48166997) × cos(0.50209037) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.876578468494909 × 6371000     		do = 267.729627408259m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.48162203-0.48166997) × cos(0.50204835) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.876598690222611 × 6371000     		du = 267.735803644406m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.50209037)-sin(0.50204835))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.876578468494909-0.876598690222611)×R²
    abs(0.48166997-0.48162203)×2.02217277014416e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.02217277014416e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.02217277014416e-05×40589641000000     		ar = 71674.569999059m²