Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 75581 / 54603
↖ ↑ ↗
← N 28.741172°
E 27.589417°		 ← 267.74 m → N 28.741172°
E 27.592163°		 →
↑
267.84 m
↓
↑
267.84 m
↓
N 28.738764°
E 27.589417°		 ← 267.75 m →
71 712 m²		 N 28.738764°
E 27.592163°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 75581 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 54603 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.576641082763672 y=0.416591644287109 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.576641082763672 × 217)
    floor (0.576641082763672 × 131072)
    floor (75581.5)     		tx = 75581
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.416591644287109 × 217)
    floor (0.416591644287109 × 131072)
    floor (54603.5)     		ty = 54603
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 75581 / 54603 ti = "17/75581/54603"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/75581/54603.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 75581 ÷ 217
    75581 ÷ 131072     		x = 0.576637268066406
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 54603 ÷ 217
    54603 ÷ 131072     		y = 0.416587829589844
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.576637268066406 × 2 - 1) × π
    0.153274536132812 × 3.1415926535     		Λ = 0.48152616
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.416587829589844 × 2 - 1) × π
    0.166824340820312 × 3.1415926535     		Φ = 0.524094123546074
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.48152616} λ = 0.48152616}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.524094123546074))-π/2
    2×atan(1.68892819490816)-π/2
    2×1.0362122063173-π/2
    2.0724244126346-1.57079632675     		φ = 0.50162809
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.48152616} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 27.589417°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.50162809 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 28.741172°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 75581 KachelY 54603 0.48152616 0.50162809 27.589417 28.741172
    Oben rechts KachelX + 1 75582 KachelY 54603 0.48157409 0.50162809 27.592163 28.741172
    Unten links KachelX 75581 KachelY + 1 54604 0.48152616 0.50158605 27.589417 28.738764
    Unten rechts KachelX + 1 75582 KachelY + 1 54604 0.48157409 0.50158605 27.592163 28.738764
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.50162809-0.50158605) × R
    4.20399999999654e-05 × 6371000     		dl = 267.83683999978m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.50162809-0.50158605) × R
    4.20399999999654e-05 × 6371000     		dr = 267.83683999978m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.48152616-0.48157409) × cos(0.50162809) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.876800851216336 × 6371000     		do = 267.741687833312m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.48152616-0.48157409) × cos(0.50158605) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.876821065530476 × 6371000     		du = 267.747860517313m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.50162809)-sin(0.50158605))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.876800851216336-0.876821065530476)×R²
    abs(0.48157409-0.48152616)×2.02143141400102e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.02143141400102e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.02143141400102e-05×40589641000000     		ar = 71711.914252118m²