Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 7558 / 7504
↖ ↑ ↗
← S 81.621352°
E152.138672°		 ← 712.03 m → S 81.621352°
E152.182617°		 →
↑
711.77 m
↓
↑
711.77 m
↓
S 81.627753°
E152.138672°		 ← 711.49 m →
506 610 m²		 S 81.627753°
E152.182617°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7558 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7504 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.92266845703125 y=0.91607666015625 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.92266845703125 × 213)
    floor (0.92266845703125 × 8192)
    floor (7558.5)     		tx = 7558
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.91607666015625 × 213)
    floor (0.91607666015625 × 8192)
    floor (7504.5)     		ty = 7504
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 7558 / 7504 ti = "13/7558/7504"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/7558/7504.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7558 ÷ 213
    7558 ÷ 8192     		x = 0.922607421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7504 ÷ 213
    7504 ÷ 8192     		y = 0.916015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.922607421875 × 2 - 1) × π
    0.84521484375 × 3.1415926535     		Λ = 2.65532074
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.916015625 × 2 - 1) × π
    -0.83203125 × 3.1415926535     		Φ = -2.61390326248242
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.65532074} λ = 2.65532074}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.61390326248242))-π/2
    2×atan(0.0732480785753369)-π/2
    2×0.0731174998314953-π/2
    0.146234999662991-1.57079632675     		φ = -1.42456133
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.65532074} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 152.138672°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.42456133 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.621352°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7558 KachelY 7504 2.65532074 -1.42456133 152.138672 -81.621352
    Oben rechts KachelX + 1 7559 KachelY 7504 2.65608773 -1.42456133 152.182617 -81.621352
    Unten links KachelX 7558 KachelY + 1 7505 2.65532074 -1.42467305 152.138672 -81.627753
    Unten rechts KachelX + 1 7559 KachelY + 1 7505 2.65608773 -1.42467305 152.182617 -81.627753
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.42456133--1.42467305) × R
    0.000111720000000037 × 6371000     		dl = 711.768120000238m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.42456133--1.42467305) × R
    0.000111720000000037 × 6371000     		dr = 711.768120000238m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.65532074-2.65608773) × cos(-1.42456133) × R
    0.000766989999999801 × 0.145714355831018 × 6371000     		do = 712.032222024756m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.65532074-2.65608773) × cos(-1.42467305) × R
    0.000766989999999801 × 0.145603827342562 × 6371000     		du = 711.492125307564m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.42456133)-sin(-1.42467305))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.145714355831018-0.145603827342562)×R²
    abs(2.65608773-2.65532074)×0.00011052848845558×R²
    0.000766989999999801×0.00011052848845558×6371000²
    0.000766989999999801×0.00011052848845558×40589641000000     		ar = 506609.624763572m²