Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 7558 / 4997
↖ ↑ ↗
← N 57.267164°
W 13.930664°		 ← 1 321.10 m → N 57.267164°
W 13.908691°		 →
↑
1 321.35 m
↓
↑
1 321.35 m
↓
N 57.255281°
W 13.930664°		 ← 1 321.53 m →
1 745 913 m²		 N 57.255281°
W 13.908691°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7558 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4997 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.461334228515625 y=0.305023193359375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.461334228515625 × 214)
    floor (0.461334228515625 × 16384)
    floor (7558.5)     		tx = 7558
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.305023193359375 × 214)
    floor (0.305023193359375 × 16384)
    floor (4997.5)     		ty = 4997
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7558 / 4997 ti = "14/7558/4997"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7558/4997.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7558 ÷ 214
    7558 ÷ 16384     		x = 0.4613037109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4997 ÷ 214
    4997 ÷ 16384     		y = 0.30499267578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4613037109375 × 2 - 1) × π
    -0.077392578125 × 3.1415926535     		Λ = -0.24313595
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.30499267578125 × 2 - 1) × π
    0.3900146484375 × 3.1415926535     		Φ = 1.22526715428864
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.24313595} λ = -0.24313595}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.22526715428864))-π/2
    2×atan(3.40507564184996)-π/2
    2×1.28514844218871-π/2
    2.57029688437742-1.57079632675     		φ = 0.99950056
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.24313595} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.930664°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.99950056 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 57.267164°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7558 KachelY 4997 -0.24313595 0.99950056 -13.930664 57.267164
    Oben rechts KachelX + 1 7559 KachelY 4997 -0.24275246 0.99950056 -13.908691 57.267164
    Unten links KachelX 7558 KachelY + 1 4998 -0.24313595 0.99929316 -13.930664 57.255281
    Unten rechts KachelX + 1 7559 KachelY + 1 4998 -0.24275246 0.99929316 -13.908691 57.255281
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.99950056-0.99929316) × R
    0.000207399999999969 × 6371000     		dl = 1321.3453999998m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.99950056-0.99929316) × R
    0.000207399999999969 × 6371000     		dr = 1321.3453999998m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.24313595--0.24275246) × cos(0.99950056) × R
    0.000383489999999986 × 0.540722502732733 × 6371000     		do = 1321.10121596238m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.24313595--0.24275246) × cos(0.99929316) × R
    0.000383489999999986 × 0.540896956195847 × 6371000     		du = 1321.52744324363m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.99950056)-sin(0.99929316))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.540722502732733-0.540896956195847)×R²
    abs(-0.24275246--0.24313595)×0.000174453463113844×R²
    0.000383489999999986×0.000174453463113844×6371000²
    0.000383489999999986×0.000174453463113844×40589641000000     		ar = 1745912.61763318m²