Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 7558 / 10510
↖ ↑ ↗
← S 45.305803°
W 13.930664°		 ← 1 718.37 m → S 45.305803°
W 13.908691°		 →
↑
1 718.13 m
↓
↑
1 718.13 m
↓
S 45.321254°
W 13.930664°		 ← 1 717.90 m →
2 951 980 m²		 S 45.321254°
W 13.908691°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7558 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10510 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.461334228515625 y=0.641510009765625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.461334228515625 × 214)
    floor (0.461334228515625 × 16384)
    floor (7558.5)     		tx = 7558
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.641510009765625 × 214)
    floor (0.641510009765625 × 16384)
    floor (10510.5)     		ty = 10510
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7558 / 10510 ti = "14/7558/10510"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7558/10510.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7558 ÷ 214
    7558 ÷ 16384     		x = 0.4613037109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10510 ÷ 214
    10510 ÷ 16384     		y = 0.6414794921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4613037109375 × 2 - 1) × π
    -0.077392578125 × 3.1415926535     		Λ = -0.24313595
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.6414794921875 × 2 - 1) × π
    -0.282958984375 × 3.1415926535     		Φ = -0.888941866554321
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.24313595} λ = -0.24313595}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.888941866554321))-π/2
    2×atan(0.411090511314716)-π/2
    2×0.390030450597003-π/2
    0.780060901194007-1.57079632675     		φ = -0.79073543
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.24313595} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.930664°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.79073543 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -45.305803°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7558 KachelY 10510 -0.24313595 -0.79073543 -13.930664 -45.305803
    Oben rechts KachelX + 1 7559 KachelY 10510 -0.24275246 -0.79073543 -13.908691 -45.305803
    Unten links KachelX 7558 KachelY + 1 10511 -0.24313595 -0.79100511 -13.930664 -45.321254
    Unten rechts KachelX + 1 7559 KachelY + 1 10511 -0.24275246 -0.79100511 -13.908691 -45.321254
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.79073543--0.79100511) × R
    0.000269679999999939 × 6371000     		dl = 1718.13127999961m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.79073543--0.79100511) × R
    0.000269679999999939 × 6371000     		dr = 1718.13127999961m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.24313595--0.24275246) × cos(-0.79073543) × R
    0.000383489999999986 × 0.703322710252269 × 6371000     		do = 1718.36844783117m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.24313595--0.24275246) × cos(-0.79100511) × R
    0.000383489999999986 × 0.703130977066346 × 6371000     		du = 1717.90000247559m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.79073543)-sin(-0.79100511))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.703322710252269-0.703130977066346)×R²
    abs(-0.24275246--0.24313595)×0.00019173318592336×R²
    0.000383489999999986×0.00019173318592336×6371000²
    0.000383489999999986×0.00019173318592336×40589641000000     		ar = 2951980.1733656m²