Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 75577 / 56735
↖ ↑ ↗
← N 23.485920°
E 27.578430°		 ← 280.12 m → N 23.485920°
E 27.581177°		 →
↑
280.13 m
↓
↑
280.13 m
↓
N 23.483401°
E 27.578430°		 ← 280.13 m →
78 473 m²		 N 23.483401°
E 27.581177°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 75577 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 56735 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.576610565185547 y=0.432857513427734 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.576610565185547 × 217)
    floor (0.576610565185547 × 131072)
    floor (75577.5)     		tx = 75577
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.432857513427734 × 217)
    floor (0.432857513427734 × 131072)
    floor (56735.5)     		ty = 56735
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 75577 / 56735 ti = "17/75577/56735"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/75577/56735.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 75577 ÷ 217
    75577 ÷ 131072     		x = 0.576606750488281
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 56735 ÷ 217
    56735 ÷ 131072     		y = 0.432853698730469
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.576606750488281 × 2 - 1) × π
    0.153213500976562 × 3.1415926535     		Λ = 0.48133441
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.432853698730469 × 2 - 1) × π
    0.134292602539062 × 3.1415926535     		Φ = 0.421892653556114
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.48133441} λ = 0.48133441}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.421892653556114))-π/2
    2×atan(1.52484482922748)-π/2
    2×0.990351476949785-π/2
    1.98070295389957-1.57079632675     		φ = 0.40990663
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.48133441} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 27.578430°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.40990663 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 23.485920°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 75577 KachelY 56735 0.48133441 0.40990663 27.578430 23.485920
    Oben rechts KachelX + 1 75578 KachelY 56735 0.48138235 0.40990663 27.581177 23.485920
    Unten links KachelX 75577 KachelY + 1 56736 0.48133441 0.40986266 27.578430 23.483401
    Unten rechts KachelX + 1 75578 KachelY + 1 56736 0.48138235 0.40986266 27.581177 23.483401
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.40990663-0.40986266) × R
    4.39700000000043e-05 × 6371000     		dl = 280.132870000027m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.40990663-0.40986266) × R
    4.39700000000043e-05 × 6371000     		dr = 280.132870000027m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.48133441-0.48138235) × cos(0.40990663) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.917158036971795 × 6371000     		do = 280.123672139199m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.48133441-0.48138235) × cos(0.40986266) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.917175559172046 × 6371000     		du = 280.129023870176m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.40990663)-sin(0.40986266))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.917158036971795-0.917175559172046)×R²
    abs(0.48138235-0.48133441)×1.75222002505304e-05×R²
    4.79400000000241e-05×1.75222002505304e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×1.75222002505304e-05×40589641000000     		ar = 78472.5978418256m²