Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 75576 / 57769
↖ ↑ ↗
← N 20.856245°
E 27.575683°		 ← 285.41 m → N 20.856245°
E 27.578430°		 →
↑
285.42 m
↓
↑
285.42 m
↓
N 20.853678°
E 27.575683°		 ← 285.42 m →
81 464 m²		 N 20.853678°
E 27.578430°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 75576 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 57769 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.576602935791016 y=0.440746307373047 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.576602935791016 × 217)
    floor (0.576602935791016 × 131072)
    floor (75576.5)     		tx = 75576
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.440746307373047 × 217)
    floor (0.440746307373047 × 131072)
    floor (57769.5)     		ty = 57769
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 75576 / 57769 ti = "17/75576/57769"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/75576/57769.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 75576 ÷ 217
    75576 ÷ 131072     		x = 0.57659912109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 57769 ÷ 217
    57769 ÷ 131072     		y = 0.440742492675781
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.57659912109375 × 2 - 1) × π
    0.1531982421875 × 3.1415926535     		Λ = 0.48128647
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.440742492675781 × 2 - 1) × π
    0.118515014648438 × 3.1415926535     		Φ = 0.372325899348976
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.48128647} λ = 0.48128647}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.372325899348976))-π/2
    2×atan(1.45110581868188)-π/2
    2×0.967403237529626-π/2
    1.93480647505925-1.57079632675     		φ = 0.36401015
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.48128647} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 27.575683°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.36401015 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 20.856245°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 75576 KachelY 57769 0.48128647 0.36401015 27.575683 20.856245
    Oben rechts KachelX + 1 75577 KachelY 57769 0.48133441 0.36401015 27.578430 20.856245
    Unten links KachelX 75576 KachelY + 1 57770 0.48128647 0.36396535 27.575683 20.853678
    Unten rechts KachelX + 1 75577 KachelY + 1 57770 0.48133441 0.36396535 27.578430 20.853678
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.36401015-0.36396535) × R
    4.4799999999956e-05 × 6371000     		dl = 285.42079999972m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.36401015-0.36396535) × R
    4.4799999999956e-05 × 6371000     		dr = 285.42079999972m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.48128647-0.48133441) × cos(0.36401015) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.934476629737508 × 6371000     		do = 285.413216150097m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.48128647-0.48133441) × cos(0.36396535) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.934492578696322 × 6371000     		du = 285.418087372645m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.36401015)-sin(0.36396535))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.934476629737508-0.934492578696322)×R²
    abs(0.48133441-0.48128647)×1.59489588140715e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.59489588140715e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.59489588140715e-05×40589641000000     		ar = 81463.5636718633m²