Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 75574 / 60625
↖ ↑ ↗
← N 13.365571°
E 27.570191°		 ← 297.15 m → N 13.365571°
E 27.572937°		 →
↑
297.14 m
↓
↑
297.14 m
↓
N 13.362899°
E 27.570191°		 ← 297.16 m →
88 298 m²		 N 13.362899°
E 27.572937°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 75574 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 60625 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.576587677001953 y=0.462535858154297 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.576587677001953 × 217)
    floor (0.576587677001953 × 131072)
    floor (75574.5)     		tx = 75574
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.462535858154297 × 217)
    floor (0.462535858154297 × 131072)
    floor (60625.5)     		ty = 60625
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 75574 / 60625 ti = "17/75574/60625"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/75574/60625.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 75574 ÷ 217
    75574 ÷ 131072     		x = 0.576583862304688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 60625 ÷ 217
    60625 ÷ 131072     		y = 0.462532043457031
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.576583862304688 × 2 - 1) × π
    0.153167724609375 × 3.1415926535     		Λ = 0.48119060
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.462532043457031 × 2 - 1) × π
    0.0749359130859375 × 3.1415926535     		Φ = 0.235418114034096
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.48119060} λ = 0.48119060}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.235418114034096))-π/2
    2×atan(1.26543775542162)-π/2
    2×0.902034774227845-π/2
    1.80406954845569-1.57079632675     		φ = 0.23327322
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.48119060} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 27.570191°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.23327322 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 13.365571°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 75574 KachelY 60625 0.48119060 0.23327322 27.570191 13.365571
    Oben rechts KachelX + 1 75575 KachelY 60625 0.48123854 0.23327322 27.572937 13.365571
    Unten links KachelX 75574 KachelY + 1 60626 0.48119060 0.23322658 27.570191 13.362899
    Unten rechts KachelX + 1 75575 KachelY + 1 60626 0.48123854 0.23322658 27.572937 13.362899
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.23327322-0.23322658) × R
    4.66400000000144e-05 × 6371000     		dl = 297.143440000092m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.23327322-0.23322658) × R
    4.66400000000144e-05 × 6371000     		dr = 297.143440000092m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.48119060-0.48123854) × cos(0.23327322) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.972914959837074 × 6371000     		do = 297.153271565114m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.48119060-0.48123854) × cos(0.23322658) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.972925740236171 × 6371000     		du = 297.156564176485m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.23327322)-sin(0.23322658))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.972914959837074-0.972925740236171)×R²
    abs(0.48123854-0.48119060)×1.07803990965216e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.07803990965216e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.07803990965216e-05×40589641000000     		ar = 88297.6345251078m²