Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 75572 / 56863
↖ ↑ ↗
← N 23.163089°
E 27.564697°		 ← 280.81 m → N 23.163089°
E 27.567444°		 →
↑
280.77 m
↓
↑
280.77 m
↓
N 23.160564°
E 27.564697°		 ← 280.81 m →
78 842 m²		 N 23.160564°
E 27.567444°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 75572 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 56863 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.576572418212891 y=0.433834075927734 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.576572418212891 × 217)
    floor (0.576572418212891 × 131072)
    floor (75572.5)     		tx = 75572
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.433834075927734 × 217)
    floor (0.433834075927734 × 131072)
    floor (56863.5)     		ty = 56863
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 75572 / 56863 ti = "17/75572/56863"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/75572/56863.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 75572 ÷ 217
    75572 ÷ 131072     		x = 0.576568603515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 56863 ÷ 217
    56863 ÷ 131072     		y = 0.433830261230469
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.576568603515625 × 2 - 1) × π
    0.15313720703125 × 3.1415926535     		Λ = 0.48109472
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.433830261230469 × 2 - 1) × π
    0.132339477539062 × 3.1415926535     		Φ = 0.415756730404747
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.48109472} λ = 0.48109472}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.415756730404747))-π/2
    2×atan(1.5155171447803)-π/2
    2×0.987534243107063-π/2
    1.97506848621413-1.57079632675     		φ = 0.40427216
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.48109472} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 27.564697°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.40427216 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 23.163089°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 75572 KachelY 56863 0.48109472 0.40427216 27.564697 23.163089
    Oben rechts KachelX + 1 75573 KachelY 56863 0.48114266 0.40427216 27.567444 23.163089
    Unten links KachelX 75572 KachelY + 1 56864 0.48109472 0.40422809 27.564697 23.160564
    Unten rechts KachelX + 1 75573 KachelY + 1 56864 0.48114266 0.40422809 27.567444 23.160564
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.40427216-0.40422809) × R
    4.40700000000072e-05 × 6371000     		dl = 280.769970000046m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.40427216-0.40422809) × R
    4.40700000000072e-05 × 6371000     		dr = 280.769970000046m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.48109472-0.48114266) × cos(0.40427216) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.919388936307276 × 6371000     		do = 280.805046219604m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.48109472-0.48114266) × cos(0.40422809) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.919406270335596 × 6371000     		du = 280.810340478031m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.40427216)-sin(0.40422809))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.919388936307276-0.919406270335596)×R²
    abs(0.48114266-0.48109472)×1.73340283200485e-05×R²
    4.79400000000241e-05×1.73340283200485e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×1.73340283200485e-05×40589641000000     		ar = 78842.367650125m²