Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 75571 / 56853
↖ ↑ ↗
← N 23.188338°
E 27.561951°		 ← 280.69 m → N 23.188338°
E 27.564697°		 →
↑
280.71 m
↓
↑
280.71 m
↓
N 23.185813°
E 27.561951°		 ← 280.70 m →
78 793 m²		 N 23.185813°
E 27.564697°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 75571 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 56853 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.576564788818359 y=0.433757781982422 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.576564788818359 × 217)
    floor (0.576564788818359 × 131072)
    floor (75571.5)     		tx = 75571
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.433757781982422 × 217)
    floor (0.433757781982422 × 131072)
    floor (56853.5)     		ty = 56853
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 75571 / 56853 ti = "17/75571/56853"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/75571/56853.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 75571 ÷ 217
    75571 ÷ 131072     		x = 0.576560974121094
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 56853 ÷ 217
    56853 ÷ 131072     		y = 0.433753967285156
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.576560974121094 × 2 - 1) × π
    0.153121948242188 × 3.1415926535     		Λ = 0.48104679
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.433753967285156 × 2 - 1) × π
    0.132492065429688 × 3.1415926535     		Φ = 0.416236099400948
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.48104679} λ = 0.48104679}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.416236099400948))-π/2
    2×atan(1.5162438108694)-π/2
    2×0.987754585601238-π/2
    1.97550917120248-1.57079632675     		φ = 0.40471284
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.48104679} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 27.561951°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.40471284 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 23.188338°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 75571 KachelY 56853 0.48104679 0.40471284 27.561951 23.188338
    Oben rechts KachelX + 1 75572 KachelY 56853 0.48109472 0.40471284 27.564697 23.188338
    Unten links KachelX 75571 KachelY + 1 56854 0.48104679 0.40466878 27.561951 23.185813
    Unten rechts KachelX + 1 75572 KachelY + 1 56854 0.48109472 0.40466878 27.564697 23.185813
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.40471284-0.40466878) × R
    4.40600000000124e-05 × 6371000     		dl = 280.706260000079m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.40471284-0.40466878) × R
    4.40600000000124e-05 × 6371000     		dr = 280.706260000079m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.48104679-0.48109472) × cos(0.40471284) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.919215505696458 × 6371000     		do = 280.693512826794m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.48104679-0.48109472) × cos(0.40466878) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.919232853641359 × 6371000     		du = 280.698810230465m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.40471284)-sin(0.40466878))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.919215505696458-0.919232853641359)×R²
    abs(0.48109472-0.48104679)×1.73479449003811e-05×R²
    4.79299999999738e-05×1.73479449003811e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×1.73479449003811e-05×40589641000000     		ar = 78793.1697117737m²