Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 7557 / 7506
↖ ↑ ↗
← S 81.634149°
E152.094726°		 ← 710.95 m → S 81.634149°
E152.138672°		 →
↑
710.69 m
↓
↑
710.69 m
↓
S 81.640540°
E152.094726°		 ← 710.41 m →
505 072 m²		 S 81.640540°
E152.138672°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7557 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7506 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.92254638671875 y=0.91632080078125 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.92254638671875 × 213)
    floor (0.92254638671875 × 8192)
    floor (7557.5)     		tx = 7557
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.91632080078125 × 213)
    floor (0.91632080078125 × 8192)
    floor (7506.5)     		ty = 7506
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 7557 / 7506 ti = "13/7557/7506"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/7557/7506.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7557 ÷ 213
    7557 ÷ 8192     		x = 0.9224853515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7506 ÷ 213
    7506 ÷ 8192     		y = 0.916259765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.9224853515625 × 2 - 1) × π
    0.844970703125 × 3.1415926535     		Λ = 2.65455375
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.916259765625 × 2 - 1) × π
    -0.83251953125 × 3.1415926535     		Φ = -2.61543724327026
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.65455375} λ = 2.65455375}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.61543724327026))-π/2
    2×atan(0.0731358035659259)-π/2
    2×0.0730058230812772-π/2
    0.146011646162554-1.57079632675     		φ = -1.42478468
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.65455375} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 152.094726°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.42478468 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.634149°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7557 KachelY 7506 2.65455375 -1.42478468 152.094726 -81.634149
    Oben rechts KachelX + 1 7558 KachelY 7506 2.65532074 -1.42478468 152.138672 -81.634149
    Unten links KachelX 7557 KachelY + 1 7507 2.65455375 -1.42489623 152.094726 -81.640540
    Unten rechts KachelX + 1 7558 KachelY + 1 7507 2.65532074 -1.42489623 152.138672 -81.640540
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.42478468--1.42489623) × R
    0.000111550000000182 × 6371000     		dl = 710.685050001162m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.42478468--1.42489623) × R
    0.000111550000000182 × 6371000     		dr = 710.685050001162m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.65455375-2.65532074) × cos(-1.42478468) × R
    0.000766990000000245 × 0.145493386079104 × 6371000     		do = 710.952454815148m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.65455375-2.65532074) × cos(-1.42489623) × R
    0.000766990000000245 × 0.145383022152651 × 6371000     		du = 710.413162229079m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.42478468)-sin(-1.42489623))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.145493386079104-0.145383022152651)×R²
    abs(2.65532074-2.65455375)×0.000110363926452695×R²
    0.000766990000000245×0.000110363926452695×6371000²
    0.000766990000000245×0.000110363926452695×40589641000000     		ar = 505071.647832847m²