Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 7557 / 4990
↖ ↑ ↗
← N 57.350237°
W 13.952637°		 ← 1 318.15 m → N 57.350237°
W 13.930664°		 →
↑
1 318.35 m
↓
↑
1 318.35 m
↓
N 57.338381°
W 13.952637°		 ← 1 318.58 m →
1 738 071 m²		 N 57.338381°
W 13.930664°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7557 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4990 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.461273193359375 y=0.304595947265625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.461273193359375 × 214)
    floor (0.461273193359375 × 16384)
    floor (7557.5)     		tx = 7557
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.304595947265625 × 214)
    floor (0.304595947265625 × 16384)
    floor (4990.5)     		ty = 4990
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7557 / 4990 ti = "14/7557/4990"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7557/4990.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7557 ÷ 214
    7557 ÷ 16384     		x = 0.46124267578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4990 ÷ 214
    4990 ÷ 16384     		y = 0.3045654296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.46124267578125 × 2 - 1) × π
    -0.0775146484375 × 3.1415926535     		Λ = -0.24351945
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3045654296875 × 2 - 1) × π
    0.390869140625 × 3.1415926535     		Φ = 1.22795162066736
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.24351945} λ = -0.24351945}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.22795162066736))-π/2
    2×atan(3.41422873301355)-π/2
    2×1.28587339877859-π/2
    2.57174679755718-1.57079632675     		φ = 1.00095047
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.24351945} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.952637°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.00095047 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 57.350237°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7557 KachelY 4990 -0.24351945 1.00095047 -13.952637 57.350237
    Oben rechts KachelX + 1 7558 KachelY 4990 -0.24313595 1.00095047 -13.930664 57.350237
    Unten links KachelX 7557 KachelY + 1 4991 -0.24351945 1.00074354 -13.952637 57.338381
    Unten rechts KachelX + 1 7558 KachelY + 1 4991 -0.24313595 1.00074354 -13.930664 57.338381
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.00095047-1.00074354) × R
    0.00020693000000005 × 6371000     		dl = 1318.35103000032m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.00095047-1.00074354) × R
    0.00020693000000005 × 6371000     		dr = 1318.35103000032m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.24351945--0.24313595) × cos(1.00095047) × R
    0.000383500000000009 × 0.539502269008929 × 6371000     		do = 1318.15429457076m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.24351945--0.24313595) × cos(1.00074354) × R
    0.000383500000000009 × 0.53967648923622 × 6371000     		du = 1318.57996310637m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.00095047)-sin(1.00074354))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.539502269008929-0.53967648923622)×R²
    abs(-0.24313595--0.24351945)×0.0001742202272913×R²
    0.000383500000000009×0.0001742202272913×6371000²
    0.000383500000000009×0.0001742202272913×40589641000000     		ar = 1738070.66842571m²