Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 7557 / 4264
↖ ↑ ↗
← N 64.997939°
W 13.952637°		 ← 1 032.65 m → N 64.997939°
W 13.930664°		 →
↑
1 032.87 m
↓
↑
1 032.87 m
↓
N 64.988651°
W 13.952637°		 ← 1 033.01 m →
1 066 779 m²		 N 64.988651°
W 13.930664°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7557 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4264 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.461273193359375 y=0.260284423828125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.461273193359375 × 214)
    floor (0.461273193359375 × 16384)
    floor (7557.5)     		tx = 7557
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.260284423828125 × 214)
    floor (0.260284423828125 × 16384)
    floor (4264.5)     		ty = 4264
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7557 / 4264 ti = "14/7557/4264"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7557/4264.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7557 ÷ 214
    7557 ÷ 16384     		x = 0.46124267578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4264 ÷ 214
    4264 ÷ 16384     		y = 0.26025390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.46124267578125 × 2 - 1) × π
    -0.0775146484375 × 3.1415926535     		Λ = -0.24351945
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.26025390625 × 2 - 1) × π
    0.4794921875 × 3.1415926535     		Φ = 1.50636913366064
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.24351945} λ = -0.24351945}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.50636913366064))-π/2
    2×atan(4.51032464214247)-π/2
    2×1.35261218641925-π/2
    2.70522437283851-1.57079632675     		φ = 1.13442805
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.24351945} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.952637°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.13442805 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 64.997939°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7557 KachelY 4264 -0.24351945 1.13442805 -13.952637 64.997939
    Oben rechts KachelX + 1 7558 KachelY 4264 -0.24313595 1.13442805 -13.930664 64.997939
    Unten links KachelX 7557 KachelY + 1 4265 -0.24351945 1.13426593 -13.952637 64.988651
    Unten rechts KachelX + 1 7558 KachelY + 1 4265 -0.24313595 1.13426593 -13.930664 64.988651
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.13442805-1.13426593) × R
    0.000162119999999932 × 6371000     		dl = 1032.86651999957m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.13442805-1.13426593) × R
    0.000162119999999932 × 6371000     		dr = 1032.86651999957m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.24351945--0.24313595) × cos(1.13442805) × R
    0.000383500000000009 × 0.422650855736037 × 6371000     		do = 1032.65374882649m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.24351945--0.24313595) × cos(1.13426593) × R
    0.000383500000000009 × 0.422797778335434 × 6371000     		du = 1033.01272165476m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.13442805)-sin(1.13426593))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.422650855736037-0.422797778335434)×R²
    abs(-0.24313595--0.24351945)×0.000146922599396859×R²
    0.000383500000000009×0.000146922599396859×6371000²
    0.000383500000000009×0.000146922599396859×40589641000000     		ar = 1066778.87175886m²