Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 7557 / 10507
↖ ↑ ↗
← S 45.259422°
W 13.952637°		 ← 1 719.82 m → S 45.259422°
W 13.930664°		 →
↑
1 719.60 m
↓
↑
1 719.60 m
↓
S 45.274887°
W 13.952637°		 ← 1 719.35 m →
2 956 992 m²		 S 45.274887°
W 13.930664°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7557 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10507 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.461273193359375 y=0.641326904296875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.461273193359375 × 214)
    floor (0.461273193359375 × 16384)
    floor (7557.5)     		tx = 7557
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.641326904296875 × 214)
    floor (0.641326904296875 × 16384)
    floor (10507.5)     		ty = 10507
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7557 / 10507 ti = "14/7557/10507"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7557/10507.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7557 ÷ 214
    7557 ÷ 16384     		x = 0.46124267578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10507 ÷ 214
    10507 ÷ 16384     		y = 0.64129638671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.46124267578125 × 2 - 1) × π
    -0.0775146484375 × 3.1415926535     		Λ = -0.24351945
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.64129638671875 × 2 - 1) × π
    -0.2825927734375 × 3.1415926535     		Φ = -0.88779138096344
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.24351945} λ = -0.24351945}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.88779138096344))-π/2
    2×atan(0.411563737192111)-π/2
    2×0.390435197364372-π/2
    0.780870394728744-1.57079632675     		φ = -0.78992593
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.24351945} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.952637°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.78992593 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -45.259422°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7557 KachelY 10507 -0.24351945 -0.78992593 -13.952637 -45.259422
    Oben rechts KachelX + 1 7558 KachelY 10507 -0.24313595 -0.78992593 -13.930664 -45.259422
    Unten links KachelX 7557 KachelY + 1 10508 -0.24351945 -0.79019584 -13.952637 -45.274887
    Unten rechts KachelX + 1 7558 KachelY + 1 10508 -0.24313595 -0.79019584 -13.930664 -45.274887
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.78992593--0.79019584) × R
    0.000269909999999984 × 6371000     		dl = 1719.5966099999m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.78992593--0.79019584) × R
    0.000269909999999984 × 6371000     		dr = 1719.5966099999m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.24351945--0.24313595) × cos(-0.78992593) × R
    0.000383500000000009 × 0.7038979295883 × 6371000     		do = 1719.81867755765m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.24351945--0.24313595) × cos(-0.79019584) × R
    0.000383500000000009 × 0.703706186570858 × 6371000     		du = 1719.35019596561m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.78992593)-sin(-0.79019584))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.7038979295883-0.703706186570858)×R²
    abs(-0.24313595--0.24351945)×0.000191743017441959×R²
    0.000383500000000009×0.000191743017441959×6371000²
    0.000383500000000009×0.000191743017441959×40589641000000     		ar = 2956991.58601524m²