Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 75569 / 60978
↖ ↑ ↗
← N 12.420483°
E 27.556457°		 ← 298.28 m → N 12.420483°
E 27.559204°		 →
↑
298.29 m
↓
↑
298.29 m
↓
N 12.417801°
E 27.556457°		 ← 298.28 m →
88 974 m²		 N 12.417801°
E 27.559204°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 75569 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 60978 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.576549530029297 y=0.465229034423828 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.576549530029297 × 217)
    floor (0.576549530029297 × 131072)
    floor (75569.5)     		tx = 75569
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.465229034423828 × 217)
    floor (0.465229034423828 × 131072)
    floor (60978.5)     		ty = 60978
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 75569 / 60978 ti = "17/75569/60978"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/75569/60978.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 75569 ÷ 217
    75569 ÷ 131072     		x = 0.576545715332031
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 60978 ÷ 217
    60978 ÷ 131072     		y = 0.465225219726562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.576545715332031 × 2 - 1) × π
    0.153091430664062 × 3.1415926535     		Λ = 0.48095091
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.465225219726562 × 2 - 1) × π
    0.069549560546875 × 3.1415926535     		Φ = 0.218496388468216
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.48095091} λ = 0.48095091}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.218496388468216))-π/2
    2×atan(1.24420452313487)-π/2
    2×0.893787327001933-π/2
    1.78757465400387-1.57079632675     		φ = 0.21677833
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.48095091} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 27.556457°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.21677833 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 12.420483°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 75569 KachelY 60978 0.48095091 0.21677833 27.556457 12.420483
    Oben rechts KachelX + 1 75570 KachelY 60978 0.48099885 0.21677833 27.559204 12.420483
    Unten links KachelX 75569 KachelY + 1 60979 0.48095091 0.21673151 27.556457 12.417801
    Unten rechts KachelX + 1 75570 KachelY + 1 60979 0.48099885 0.21673151 27.559204 12.417801
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.21677833-0.21673151) × R
    4.6820000000003e-05 × 6371000     		dl = 298.290220000019m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.21677833-0.21673151) × R
    4.6820000000003e-05 × 6371000     		dr = 298.290220000019m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.48095091-0.48099885) × cos(0.21677833) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.976595447451867 × 6371000     		do = 298.277387218422m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.48095091-0.48099885) × cos(0.21673151) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.976605516636648 × 6371000     		du = 298.280462606635m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.21677833)-sin(0.21673151))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.976595447451867-0.976605516636648)×R²
    abs(0.48099885-0.48095091)×1.00691847808587e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.00691847808587e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.00691847808587e-05×40589641000000     		ar = 88973.6861497973m²