Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 75568 / 61040
↖ ↑ ↗
← N 12.254128°
E 27.553711°		 ← 298.40 m → N 12.254128°
E 27.556457°		 →
↑
298.48 m
↓
↑
298.48 m
↓
N 12.251444°
E 27.553711°		 ← 298.41 m →
89 069 m²		 N 12.251444°
E 27.556457°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 75568 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 61040 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.576541900634766 y=0.465702056884766 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.576541900634766 × 217)
    floor (0.576541900634766 × 131072)
    floor (75568.5)     		tx = 75568
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.465702056884766 × 217)
    floor (0.465702056884766 × 131072)
    floor (61040.5)     		ty = 61040
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 75568 / 61040 ti = "17/75568/61040"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/75568/61040.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 75568 ÷ 217
    75568 ÷ 131072     		x = 0.5765380859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 61040 ÷ 217
    61040 ÷ 131072     		y = 0.4656982421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5765380859375 × 2 - 1) × π
    0.153076171875 × 3.1415926535     		Λ = 0.48090298
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.4656982421875 × 2 - 1) × π
    0.068603515625 × 3.1415926535     		Φ = 0.215524300691772
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.48090298} λ = 0.48090298}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.215524300691772))-π/2
    2×atan(1.2405121278597)-π/2
    2×0.892335601385481-π/2
    1.78467120277096-1.57079632675     		φ = 0.21387488
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.48090298} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 27.553711°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.21387488 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 12.254128°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 75568 KachelY 61040 0.48090298 0.21387488 27.553711 12.254128
    Oben rechts KachelX + 1 75569 KachelY 61040 0.48095091 0.21387488 27.556457 12.254128
    Unten links KachelX 75568 KachelY + 1 61041 0.48090298 0.21382803 27.553711 12.251444
    Unten rechts KachelX + 1 75569 KachelY + 1 61041 0.48095091 0.21382803 27.556457 12.251444
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.21387488-0.21382803) × R
    4.68499999999872e-05 × 6371000     		dl = 298.481349999918m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.21387488-0.21382803) × R
    4.68499999999872e-05 × 6371000     		dr = 298.481349999918m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.48090298-0.48095091) × cos(0.21387488) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.97721581724004 × 6371000     		do = 298.40460570071m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.48090298-0.48095091) × cos(0.21382803) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.977225759990025 × 6371000     		du = 298.407641839029m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.21387488)-sin(0.21382803))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.97721581724004-0.977225759990025)×R²
    abs(0.48095091-0.48090298)×9.94274998544764e-06×R²
    4.79300000000293e-05×9.94274998544764e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×9.94274998544764e-06×40589641000000     		ar = 89068.6626873717m²