Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 75568 / 57904
↖ ↑ ↗
← N 20.509355°
E 27.553711°		 ← 286.01 m → N 20.509355°
E 27.556457°		 →
↑
286.06 m
↓
↑
286.06 m
↓
N 20.506782°
E 27.553711°		 ← 286.01 m →
81 815 m²		 N 20.506782°
E 27.556457°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 75568 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 57904 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.576541900634766 y=0.441776275634766 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.576541900634766 × 217)
    floor (0.576541900634766 × 131072)
    floor (75568.5)     		tx = 75568
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.441776275634766 × 217)
    floor (0.441776275634766 × 131072)
    floor (57904.5)     		ty = 57904
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 75568 / 57904 ti = "17/75568/57904"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/75568/57904.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 75568 ÷ 217
    75568 ÷ 131072     		x = 0.5765380859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 57904 ÷ 217
    57904 ÷ 131072     		y = 0.4417724609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5765380859375 × 2 - 1) × π
    0.153076171875 × 3.1415926535     		Λ = 0.48090298
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.4417724609375 × 2 - 1) × π
    0.116455078125 × 3.1415926535     		Φ = 0.365854417900269
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.48090298} λ = 0.48090298}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.365854417900269))-π/2
    2×atan(1.44174533506234)-π/2
    2×0.96437604590859-π/2
    1.92875209181718-1.57079632675     		φ = 0.35795577
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.48090298} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 27.553711°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.35795577 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 20.509355°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 75568 KachelY 57904 0.48090298 0.35795577 27.553711 20.509355
    Oben rechts KachelX + 1 75569 KachelY 57904 0.48095091 0.35795577 27.556457 20.509355
    Unten links KachelX 75568 KachelY + 1 57905 0.48090298 0.35791087 27.553711 20.506782
    Unten rechts KachelX + 1 75569 KachelY + 1 57905 0.48095091 0.35791087 27.556457 20.506782
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.35795577-0.35791087) × R
    4.49000000000144e-05 × 6371000     		dl = 286.057900000092m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.35795577-0.35791087) × R
    4.49000000000144e-05 × 6371000     		dr = 286.057900000092m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.48090298-0.48095091) × cos(0.35795577) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.936614997234424 × 6371000     		do = 286.006656884123m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.48090298-0.48095091) × cos(0.35791087) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.936630727468234 × 6371000     		du = 286.011460300252m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.35795577)-sin(0.35791087))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.936614997234424-0.936630727468234)×R²
    abs(0.48095091-0.48090298)×1.57302338095189e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.57302338095189e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.57302338095189e-05×40589641000000     		ar = 81815.1506956345m²