Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 75568 / 57872
↖ ↑ ↗
← N 20.591652°
E 27.553711°		 ← 285.85 m → N 20.591652°
E 27.556457°		 →
↑
285.93 m
↓
↑
285.93 m
↓
N 20.589081°
E 27.553711°		 ← 285.86 m →
81 735 m²		 N 20.589081°
E 27.556457°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 75568 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 57872 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.576541900634766 y=0.441532135009766 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.576541900634766 × 217)
    floor (0.576541900634766 × 131072)
    floor (75568.5)     		tx = 75568
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.441532135009766 × 217)
    floor (0.441532135009766 × 131072)
    floor (57872.5)     		ty = 57872
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 75568 / 57872 ti = "17/75568/57872"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/75568/57872.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 75568 ÷ 217
    75568 ÷ 131072     		x = 0.5765380859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 57872 ÷ 217
    57872 ÷ 131072     		y = 0.4415283203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5765380859375 × 2 - 1) × π
    0.153076171875 × 3.1415926535     		Λ = 0.48090298
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.4415283203125 × 2 - 1) × π
    0.116943359375 × 3.1415926535     		Φ = 0.36738839868811
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.48090298} λ = 0.48090298}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.36738839868811))-π/2
    2×atan(1.44395864185832)-π/2
    2×0.965094227359405-π/2
    1.93018845471881-1.57079632675     		φ = 0.35939213
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.48090298} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 27.553711°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.35939213 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 20.591652°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 75568 KachelY 57872 0.48090298 0.35939213 27.553711 20.591652
    Oben rechts KachelX + 1 75569 KachelY 57872 0.48095091 0.35939213 27.556457 20.591652
    Unten links KachelX 75568 KachelY + 1 57873 0.48090298 0.35934725 27.553711 20.589081
    Unten rechts KachelX + 1 75569 KachelY + 1 57873 0.48095091 0.35934725 27.556457 20.589081
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.35939213-0.35934725) × R
    4.48799999999694e-05 × 6371000     		dl = 285.930479999805m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.35939213-0.35934725) × R
    4.48799999999694e-05 × 6371000     		dr = 285.930479999805m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.48090298-0.48095091) × cos(0.35939213) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.936110787693217 × 6371000     		do = 285.852690435075m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.48090298-0.48095091) × cos(0.35934725) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.936126571282724 × 6371000     		du = 285.857510144007m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.35939213)-sin(0.35934725))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.936110787693217-0.936126571282724)×R²
    abs(0.48095091-0.48090298)×1.57835895070457e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.57835895070457e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.57835895070457e-05×40589641000000     		ar = 81734.6860498818m²