Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 75567 / 57911
↖ ↑ ↗
← N 20.491346°
E 27.550964°		 ← 286.10 m → N 20.491346°
E 27.553711°		 →
↑
286.12 m
↓
↑
286.12 m
↓
N 20.488773°
E 27.550964°		 ← 286.10 m →
81 860 m²		 N 20.488773°
E 27.553711°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 75567 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 57911 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.576534271240234 y=0.441829681396484 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.576534271240234 × 217)
    floor (0.576534271240234 × 131072)
    floor (75567.5)     		tx = 75567
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.441829681396484 × 217)
    floor (0.441829681396484 × 131072)
    floor (57911.5)     		ty = 57911
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 75567 / 57911 ti = "17/75567/57911"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/75567/57911.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 75567 ÷ 217
    75567 ÷ 131072     		x = 0.576530456542969
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 57911 ÷ 217
    57911 ÷ 131072     		y = 0.441825866699219
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.576530456542969 × 2 - 1) × π
    0.153060913085938 × 3.1415926535     		Λ = 0.48085504
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.441825866699219 × 2 - 1) × π
    0.116348266601562 × 3.1415926535     		Φ = 0.365518859602928
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.48085504} λ = 0.48085504}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.365518859602928))-π/2
    2×atan(1.44126162661323)-π/2
    2×0.964218892206207-π/2
    1.92843778441241-1.57079632675     		φ = 0.35764146
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.48085504} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 27.550964°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.35764146 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 20.491346°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 75567 KachelY 57911 0.48085504 0.35764146 27.550964 20.491346
    Oben rechts KachelX + 1 75568 KachelY 57911 0.48090298 0.35764146 27.553711 20.491346
    Unten links KachelX 75567 KachelY + 1 57912 0.48085504 0.35759655 27.550964 20.488773
    Unten rechts KachelX + 1 75568 KachelY + 1 57912 0.48090298 0.35759655 27.553711 20.488773
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.35764146-0.35759655) × R
    4.49100000000091e-05 × 6371000     		dl = 286.121610000058m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.35764146-0.35759655) × R
    4.49100000000091e-05 × 6371000     		dr = 286.121610000058m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.48085504-0.48090298) × cos(0.35764146) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.936725072717245 × 6371000     		do = 286.099948511031m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.48085504-0.48090298) × cos(0.35759655) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.936740793232409 × 6371000     		du = 286.104749961008m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.35764146)-sin(0.35759655))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.936725072717245-0.936740793232409)×R²
    abs(0.48090298-0.48085504)×1.57205151632978e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.57205151632978e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.57205151632978e-05×40589641000000     		ar = 81860.0648019365m²