Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 75567 / 56876
↖ ↑ ↗
← N 23.130257°
E 27.550964°		 ← 280.87 m → N 23.130257°
E 27.553711°		 →
↑
280.83 m
↓
↑
280.83 m
↓
N 23.127731°
E 27.550964°		 ← 280.88 m →
78 880 m²		 N 23.127731°
E 27.553711°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 75567 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 56876 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.576534271240234 y=0.433933258056641 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.576534271240234 × 217)
    floor (0.576534271240234 × 131072)
    floor (75567.5)     		tx = 75567
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.433933258056641 × 217)
    floor (0.433933258056641 × 131072)
    floor (56876.5)     		ty = 56876
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 75567 / 56876 ti = "17/75567/56876"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/75567/56876.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 75567 ÷ 217
    75567 ÷ 131072     		x = 0.576530456542969
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 56876 ÷ 217
    56876 ÷ 131072     		y = 0.433929443359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.576530456542969 × 2 - 1) × π
    0.153060913085938 × 3.1415926535     		Λ = 0.48085504
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.433929443359375 × 2 - 1) × π
    0.13214111328125 × 3.1415926535     		Φ = 0.415133550709686
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.48085504} λ = 0.48085504}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.415133550709686))-π/2
    2×atan(1.5145729994848)-π/2
    2×0.987247735750195-π/2
    1.97449547150039-1.57079632675     		φ = 0.40369914
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.48085504} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 27.550964°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.40369914 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 23.130257°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 75567 KachelY 56876 0.48085504 0.40369914 27.550964 23.130257
    Oben rechts KachelX + 1 75568 KachelY 56876 0.48090298 0.40369914 27.553711 23.130257
    Unten links KachelX 75567 KachelY + 1 56877 0.48085504 0.40365506 27.550964 23.127731
    Unten rechts KachelX + 1 75568 KachelY + 1 56877 0.48090298 0.40365506 27.553711 23.127731
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.40369914-0.40365506) × R
    4.40800000000019e-05 × 6371000     		dl = 280.833680000012m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.40369914-0.40365506) × R
    4.40800000000019e-05 × 6371000     		dr = 280.833680000012m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.48085504-0.48090298) × cos(0.40369914) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.919614182596515 × 6371000     		do = 280.873842233852m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.48085504-0.48090298) × cos(0.40365506) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.919631497332274 × 6371000     		du = 280.879130599834m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.40369914)-sin(0.40365506))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.919614182596515-0.919631497332274)×R²
    abs(0.48090298-0.48085504)×1.73147357583892e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.73147357583892e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.73147357583892e-05×40589641000000     		ar = 78879.5773186395m²