Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 75566 / 57910
↖ ↑ ↗
← N 20.493919°
E 27.548218°		 ← 286.10 m → N 20.493919°
E 27.550964°		 →
↑
286.06 m
↓
↑
286.06 m
↓
N 20.491346°
E 27.548218°		 ← 286.10 m →
81 840 m²		 N 20.491346°
E 27.550964°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 75566 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 57910 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.576526641845703 y=0.441822052001953 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.576526641845703 × 217)
    floor (0.576526641845703 × 131072)
    floor (75566.5)     		tx = 75566
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.441822052001953 × 217)
    floor (0.441822052001953 × 131072)
    floor (57910.5)     		ty = 57910
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 75566 / 57910 ti = "17/75566/57910"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/75566/57910.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 75566 ÷ 217
    75566 ÷ 131072     		x = 0.576522827148438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 57910 ÷ 217
    57910 ÷ 131072     		y = 0.441818237304688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.576522827148438 × 2 - 1) × π
    0.153045654296875 × 3.1415926535     		Λ = 0.48080710
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.441818237304688 × 2 - 1) × π
    0.116363525390625 × 3.1415926535     		Φ = 0.365566796502548
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.48080710} λ = 0.48080710}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.365566796502548))-π/2
    2×atan(1.44133071788315)-π/2
    2×0.964241343865729-π/2
    1.92848268773146-1.57079632675     		φ = 0.35768636
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.48080710} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 27.548218°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.35768636 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 20.493919°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 75566 KachelY 57910 0.48080710 0.35768636 27.548218 20.493919
    Oben rechts KachelX + 1 75567 KachelY 57910 0.48085504 0.35768636 27.550964 20.493919
    Unten links KachelX 75566 KachelY + 1 57911 0.48080710 0.35764146 27.548218 20.491346
    Unten rechts KachelX + 1 75567 KachelY + 1 57911 0.48085504 0.35764146 27.550964 20.491346
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.35768636-0.35764146) × R
    4.48999999999589e-05 × 6371000     		dl = 286.057899999738m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.35768636-0.35764146) × R
    4.48999999999589e-05 × 6371000     		dr = 286.057899999738m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.48080710-0.48085504) × cos(0.35768636) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.936709353813873 × 6371000     		do = 286.095147553668m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.48080710-0.48085504) × cos(0.35764146) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.936725072717245 × 6371000     		du = 286.099948511362m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.35768636)-sin(0.35764146))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.936709353813873-0.936725072717245)×R²
    abs(0.48085504-0.48080710)×1.57189033719307e-05×R²
    4.79400000000241e-05×1.57189033719307e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×1.57189033719307e-05×40589641000000     		ar = 81840.4637989914m²