Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 75566 / 55686
↖ ↑ ↗
← N 26.101188°
E 27.548218°		 ← 274.28 m → N 26.101188°
E 27.550964°		 →
↑
274.27 m
↓
↑
274.27 m
↓
N 26.098721°
E 27.548218°		 ← 274.28 m →
75 227 m²		 N 26.098721°
E 27.550964°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 75566 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 55686 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.576526641845703 y=0.424854278564453 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.576526641845703 × 217)
    floor (0.576526641845703 × 131072)
    floor (75566.5)     		tx = 75566
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.424854278564453 × 217)
    floor (0.424854278564453 × 131072)
    floor (55686.5)     		ty = 55686
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 75566 / 55686 ti = "17/75566/55686"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/75566/55686.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 75566 ÷ 217
    75566 ÷ 131072     		x = 0.576522827148438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 55686 ÷ 217
    55686 ÷ 131072     		y = 0.424850463867188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.576522827148438 × 2 - 1) × π
    0.153045654296875 × 3.1415926535     		Λ = 0.48080710
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.424850463867188 × 2 - 1) × π
    0.150299072265625 × 3.1415926535     		Φ = 0.472178461257553
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.48080710} λ = 0.48080710}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.472178461257553))-π/2
    2×atan(1.60348351787895)-π/2
    2×1.01317399780289-π/2
    2.02634799560578-1.57079632675     		φ = 0.45555167
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.48080710} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 27.548218°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.45555167 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 26.101188°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 75566 KachelY 55686 0.48080710 0.45555167 27.548218 26.101188
    Oben rechts KachelX + 1 75567 KachelY 55686 0.48085504 0.45555167 27.550964 26.101188
    Unten links KachelX 75566 KachelY + 1 55687 0.48080710 0.45550862 27.548218 26.098721
    Unten rechts KachelX + 1 75567 KachelY + 1 55687 0.48085504 0.45550862 27.550964 26.098721
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.45555167-0.45550862) × R
    4.30500000000444e-05 × 6371000     		dl = 274.271550000283m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.45555167-0.45550862) × R
    4.30500000000444e-05 × 6371000     		dr = 274.271550000283m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.48080710-0.48085504) × cos(0.45555167) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.898018453327919 × 6371000     		do = 274.277950641473m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.48080710-0.48085504) × cos(0.45550862) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.898037392678647 × 6371000     		du = 274.283735206684m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.45555167)-sin(0.45550862))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.898018453327919-0.898037392678647)×R²
    abs(0.48085504-0.48080710)×1.89393507282754e-05×R²
    4.79400000000241e-05×1.89393507282754e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×1.89393507282754e-05×40589641000000     		ar = 75227.4319357925m²