Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 75565 / 56837
↖ ↑ ↗
← N 23.228727°
E 27.545471°		 ← 280.61 m → N 23.228727°
E 27.548218°		 →
↑
280.64 m
↓
↑
280.64 m
↓
N 23.226203°
E 27.545471°		 ← 280.61 m →
78 751 m²		 N 23.226203°
E 27.548218°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 75565 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 56837 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.576519012451172 y=0.433635711669922 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.576519012451172 × 217)
    floor (0.576519012451172 × 131072)
    floor (75565.5)     		tx = 75565
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.433635711669922 × 217)
    floor (0.433635711669922 × 131072)
    floor (56837.5)     		ty = 56837
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 75565 / 56837 ti = "17/75565/56837"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/75565/56837.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 75565 ÷ 217
    75565 ÷ 131072     		x = 0.576515197753906
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 56837 ÷ 217
    56837 ÷ 131072     		y = 0.433631896972656
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.576515197753906 × 2 - 1) × π
    0.153030395507812 × 3.1415926535     		Λ = 0.48075917
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.433631896972656 × 2 - 1) × π
    0.132736206054688 × 3.1415926535     		Φ = 0.417003089794868
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.48075917} λ = 0.48075917}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.417003089794868))-π/2
    2×atan(1.51740720140483)-π/2
    2×0.988107047077333-π/2
    1.97621409415467-1.57079632675     		φ = 0.40541777
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.48075917} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 27.545471°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.40541777 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 23.228727°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 75565 KachelY 56837 0.48075917 0.40541777 27.545471 23.228727
    Oben rechts KachelX + 1 75566 KachelY 56837 0.48080710 0.40541777 27.548218 23.228727
    Unten links KachelX 75565 KachelY + 1 56838 0.48075917 0.40537372 27.545471 23.226203
    Unten rechts KachelX + 1 75566 KachelY + 1 56838 0.48080710 0.40537372 27.548218 23.226203
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.40541777-0.40537372) × R
    4.40500000000177e-05 × 6371000     		dl = 280.642550000113m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.40541777-0.40537372) × R
    4.40500000000177e-05 × 6371000     		dr = 280.642550000113m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.48075917-0.48080710) × cos(0.40541777) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.918937707746759 × 6371000     		do = 280.608683880944m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.48075917-0.48080710) × cos(0.40537372) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.918955080294106 × 6371000     		du = 280.613988797268m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.40541777)-sin(0.40537372))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.918937707746759-0.918955080294106)×R²
    abs(0.48080710-0.48075917)×1.73725473476827e-05×R²
    4.79299999999738e-05×1.73725473476827e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×1.73725473476827e-05×40589641000000     		ar = 78751.4810018686m²