Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 75563 / 57773
↖ ↑ ↗
← N 20.845978°
E 27.539978°		 ← 285.43 m → N 20.845978°
E 27.542725°		 →
↑
285.42 m
↓
↑
285.42 m
↓
N 20.843412°
E 27.539978°		 ← 285.44 m →
81 469 m²		 N 20.843412°
E 27.542725°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 75563 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 57773 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.576503753662109 y=0.440776824951172 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.576503753662109 × 217)
    floor (0.576503753662109 × 131072)
    floor (75563.5)     		tx = 75563
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.440776824951172 × 217)
    floor (0.440776824951172 × 131072)
    floor (57773.5)     		ty = 57773
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 75563 / 57773 ti = "17/75563/57773"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/75563/57773.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 75563 ÷ 217
    75563 ÷ 131072     		x = 0.576499938964844
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 57773 ÷ 217
    57773 ÷ 131072     		y = 0.440773010253906
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.576499938964844 × 2 - 1) × π
    0.152999877929688 × 3.1415926535     		Λ = 0.48066329
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.440773010253906 × 2 - 1) × π
    0.118453979492188 × 3.1415926535     		Φ = 0.372134151750496
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.48066329} λ = 0.48066329}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.372134151750496))-π/2
    2×atan(1.45082759930081)-π/2
    2×0.967313642647108-π/2
    1.93462728529422-1.57079632675     		φ = 0.36383096
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.48066329} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 27.539978°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.36383096 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 20.845978°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 75563 KachelY 57773 0.48066329 0.36383096 27.539978 20.845978
    Oben rechts KachelX + 1 75564 KachelY 57773 0.48071123 0.36383096 27.542725 20.845978
    Unten links KachelX 75563 KachelY + 1 57774 0.48066329 0.36378616 27.539978 20.843412
    Unten rechts KachelX + 1 75564 KachelY + 1 57774 0.48071123 0.36378616 27.542725 20.843412
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.36383096-0.36378616) × R
    4.4799999999956e-05 × 6371000     		dl = 285.42079999972m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.36383096-0.36378616) × R
    4.4799999999956e-05 × 6371000     		dr = 285.42079999972m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.48066329-0.48071123) × cos(0.36383096) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.934540410760682 × 6371000     		do = 285.432696516298m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.48066329-0.48071123) × cos(0.36378616) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.934556352217467 × 6371000     		du = 285.437565447533m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.36383096)-sin(0.36378616))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.934540410760682-0.934556352217467)×R²
    abs(0.48071123-0.48066329)×1.59414567847405e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.59414567847405e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.59414567847405e-05×40589641000000     		ar = 81469.123446466m²