Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 75561 / 54483
↖ ↑ ↗
← N 29.029756°
E 27.534485°		 ← 267.05 m → N 29.029756°
E 27.537232°		 →
↑
267.07 m
↓
↑
267.07 m
↓
N 29.027355°
E 27.534485°		 ← 267.06 m →
71 324 m²		 N 29.027355°
E 27.537232°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 75561 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 54483 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.576488494873047 y=0.415676116943359 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.576488494873047 × 217)
    floor (0.576488494873047 × 131072)
    floor (75561.5)     		tx = 75561
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.415676116943359 × 217)
    floor (0.415676116943359 × 131072)
    floor (54483.5)     		ty = 54483
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 75561 / 54483 ti = "17/75561/54483"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/75561/54483.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 75561 ÷ 217
    75561 ÷ 131072     		x = 0.576484680175781
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 54483 ÷ 217
    54483 ÷ 131072     		y = 0.415672302246094
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.576484680175781 × 2 - 1) × π
    0.152969360351562 × 3.1415926535     		Λ = 0.48056742
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.415672302246094 × 2 - 1) × π
    0.168655395507812 × 3.1415926535     		Φ = 0.529846551500481
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.48056742} λ = 0.48056742}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.529846551500481))-π/2
    2×atan(1.69867163000589)-π/2
    2×1.03873057790684-π/2
    2.07746115581369-1.57079632675     		φ = 0.50666483
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.48056742} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 27.534485°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.50666483 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 29.029756°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 75561 KachelY 54483 0.48056742 0.50666483 27.534485 29.029756
    Oben rechts KachelX + 1 75562 KachelY 54483 0.48061536 0.50666483 27.537232 29.029756
    Unten links KachelX 75561 KachelY + 1 54484 0.48056742 0.50662291 27.534485 29.027355
    Unten rechts KachelX + 1 75562 KachelY + 1 54484 0.48061536 0.50662291 27.537232 29.027355
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.50666483-0.50662291) × R
    4.19199999999176e-05 × 6371000     		dl = 267.072319999475m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.50666483-0.50662291) × R
    4.19199999999176e-05 × 6371000     		dr = 267.072319999475m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.48056742-0.48061536) × cos(0.50666483) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.874367804815109 × 6371000     		do = 267.054433817655m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.48056742-0.48061536) × cos(0.50662291) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.874388146304751 × 6371000     		du = 267.060646632182m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.50666483)-sin(0.50662291))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.874367804815109-0.874388146304751)×R²
    abs(0.48061536-0.48056742)×2.03414896414733e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.03414896414733e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.03414896414733e-05×40589641000000     		ar = 71323.6768516935m²