Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 7556 / 5251
↖ ↑ ↗
← N 76.509132°
W 96.987305°		 ← 285 m → N 76.509132°
W 96.976318°		 →
↑
285.04 m
↓
↑
285.04 m
↓
N 76.506569°
W 96.987305°		 ← 285.05 m →
81 243 m²		 N 76.506569°
W 96.976318°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7556 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5251 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.230606079101562 y=0.160263061523438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.230606079101562 × 215)
    floor (0.230606079101562 × 32768)
    floor (7556.5)     		tx = 7556
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.160263061523438 × 215)
    floor (0.160263061523438 × 32768)
    floor (5251.5)     		ty = 5251
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 7556 / 5251 ti = "15/7556/5251"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/7556/5251.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7556 ÷ 215
    7556 ÷ 32768     		x = 0.2305908203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5251 ÷ 215
    5251 ÷ 32768     		y = 0.160247802734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.2305908203125 × 2 - 1) × π
    -0.538818359375 × 3.1415926535     		Λ = -1.69274780
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.160247802734375 × 2 - 1) × π
    0.67950439453125 × 3.1415926535     		Φ = 2.13472601388034
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.69274780} λ = -1.69274780}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.13472601388034))-π/2
    2×atan(8.45472971090482)-π/2
    2×1.45306629412767-π/2
    2.90613258825534-1.57079632675     		φ = 1.33533626
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.69274780} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -96.987305°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.33533626 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.509132°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7556 KachelY 5251 -1.69274780 1.33533626 -96.987305 76.509132
    Oben rechts KachelX + 1 7557 KachelY 5251 -1.69255605 1.33533626 -96.976318 76.509132
    Unten links KachelX 7556 KachelY + 1 5252 -1.69274780 1.33529152 -96.987305 76.506569
    Unten rechts KachelX + 1 7557 KachelY + 1 5252 -1.69255605 1.33529152 -96.976318 76.506569
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.33533626-1.33529152) × R
    4.47400000000986e-05 × 6371000     		dl = 285.038540000628m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.33533626-1.33529152) × R
    4.47400000000986e-05 × 6371000     		dr = 285.038540000628m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.69274780--1.69255605) × cos(1.33533626) × R
    0.000191749999999935 × 0.233290382410699 × 6371000     		do = 284.996687800323m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.69274780--1.69255605) × cos(1.33529152) × R
    0.000191749999999935 × 0.233333887671529 × 6371000     		du = 285.049835534534m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.33533626)-sin(1.33529152))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.233290382410699-0.233333887671529)×R²
    abs(-1.69255605--1.69274780)×4.35052608297459e-05×R²
    0.000191749999999935×4.35052608297459e-05×6371000²
    0.000191749999999935×4.35052608297459e-05×40589641000000     		ar = 81242.6143857278m²