Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 7556 / 4996
↖ ↑ ↗
← N 57.279043°
W 13.974610°		 ← 1 320.71 m → N 57.279043°
W 13.952637°		 →
↑
1 320.90 m
↓
↑
1 320.90 m
↓
N 57.267164°
W 13.974610°		 ← 1 321.14 m →
1 744 806 m²		 N 57.267164°
W 13.952637°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7556 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4996 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.461212158203125 y=0.304962158203125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.461212158203125 × 214)
    floor (0.461212158203125 × 16384)
    floor (7556.5)     		tx = 7556
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.304962158203125 × 214)
    floor (0.304962158203125 × 16384)
    floor (4996.5)     		ty = 4996
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7556 / 4996 ti = "14/7556/4996"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7556/4996.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7556 ÷ 214
    7556 ÷ 16384     		x = 0.461181640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4996 ÷ 214
    4996 ÷ 16384     		y = 0.304931640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.461181640625 × 2 - 1) × π
    -0.07763671875 × 3.1415926535     		Λ = -0.24390295
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.304931640625 × 2 - 1) × π
    0.39013671875 × 3.1415926535     		Φ = 1.2256506494856
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.24390295} λ = -0.24390295}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.2256506494856))-π/2
    2×atan(3.4063817224257)-π/2
    2×1.28525210770773-π/2
    2.57050421541546-1.57079632675     		φ = 0.99970789
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.24390295} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.974610°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.99970789 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 57.279043°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7556 KachelY 4996 -0.24390295 0.99970789 -13.974610 57.279043
    Oben rechts KachelX + 1 7557 KachelY 4996 -0.24351945 0.99970789 -13.952637 57.279043
    Unten links KachelX 7556 KachelY + 1 4997 -0.24390295 0.99950056 -13.974610 57.267164
    Unten rechts KachelX + 1 7557 KachelY + 1 4997 -0.24351945 0.99950056 -13.952637 57.267164
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.99970789-0.99950056) × R
    0.000207330000000061 × 6371000     		dl = 1320.89943000039m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.99970789-0.99950056) × R
    0.000207330000000061 × 6371000     		dr = 1320.89943000039m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.24390295--0.24351945) × cos(0.99970789) × R
    0.000383500000000009 × 0.540548084902491 × 6371000     		do = 1320.70951405846m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.24390295--0.24351945) × cos(0.99950056) × R
    0.000383500000000009 × 0.540722502732733 × 6371000     		du = 1321.13566539311m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.99970789)-sin(0.99950056))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.540548084902491-0.540722502732733)×R²
    abs(-0.24351945--0.24390295)×0.000174417830242746×R²
    0.000383500000000009×0.000174417830242746×6371000²
    0.000383500000000009×0.000174417830242746×40589641000000     		ar = 1744805.90209343m²