Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 75557 / 57893
↖ ↑ ↗
← N 20.537649°
E 27.523498°		 ← 286.01 m → N 20.537649°
E 27.526245°		 →
↑
285.99 m
↓
↑
285.99 m
↓
N 20.535077°
E 27.523498°		 ← 286.02 m →
81 799 m²		 N 20.535077°
E 27.526245°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 75557 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 57893 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.576457977294922 y=0.441692352294922 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.576457977294922 × 217)
    floor (0.576457977294922 × 131072)
    floor (75557.5)     		tx = 75557
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.441692352294922 × 217)
    floor (0.441692352294922 × 131072)
    floor (57893.5)     		ty = 57893
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 75557 / 57893 ti = "17/75557/57893"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/75557/57893.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 75557 ÷ 217
    75557 ÷ 131072     		x = 0.576454162597656
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 57893 ÷ 217
    57893 ÷ 131072     		y = 0.441688537597656
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.576454162597656 × 2 - 1) × π
    0.152908325195312 × 3.1415926535     		Λ = 0.48037567
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.441688537597656 × 2 - 1) × π
    0.116622924804688 × 3.1415926535     		Φ = 0.366381723796089
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.48037567} λ = 0.48037567}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.366381723796089))-π/2
    2×atan(1.44250577635275)-π/2
    2×0.964622964394656-π/2
    1.92924592878931-1.57079632675     		φ = 0.35844960
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.48037567} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 27.523498°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.35844960 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 20.537649°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 75557 KachelY 57893 0.48037567 0.35844960 27.523498 20.537649
    Oben rechts KachelX + 1 75558 KachelY 57893 0.48042361 0.35844960 27.526245 20.537649
    Unten links KachelX 75557 KachelY + 1 57894 0.48037567 0.35840471 27.523498 20.535077
    Unten rechts KachelX + 1 75558 KachelY + 1 57894 0.48042361 0.35840471 27.526245 20.535077
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.35844960-0.35840471) × R
    4.48899999999641e-05 × 6371000     		dl = 285.994189999771m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.35844960-0.35840471) × R
    4.48899999999641e-05 × 6371000     		dr = 285.994189999771m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.48037567-0.48042361) × cos(0.35844960) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.936441864604233 × 6371000     		do = 286.013449463871m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.48037567-0.48042361) × cos(0.35840471) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.936457612096024 × 6371000     		du = 286.018259153205m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.35844960)-sin(0.35840471))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.936441864604233-0.936457612096024)×R²
    abs(0.48042361-0.48037567)×1.57474917908962e-05×R²
    4.79400000000241e-05×1.57474917908962e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×1.57474917908962e-05×40589641000000     		ar = 81798.8725937937m²