Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 75555 / 57762
↖ ↑ ↗
← N 20.874210°
E 27.518006°		 ← 285.32 m → N 20.874210°
E 27.520752°		 →
↑
285.36 m
↓
↑
285.36 m
↓
N 20.871644°
E 27.518006°		 ← 285.32 m →
81 419 m²		 N 20.871644°
E 27.520752°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 75555 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 57762 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.576442718505859 y=0.440692901611328 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.576442718505859 × 217)
    floor (0.576442718505859 × 131072)
    floor (75555.5)     		tx = 75555
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.440692901611328 × 217)
    floor (0.440692901611328 × 131072)
    floor (57762.5)     		ty = 57762
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 75555 / 57762 ti = "17/75555/57762"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/75555/57762.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 75555 ÷ 217
    75555 ÷ 131072     		x = 0.576438903808594
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 57762 ÷ 217
    57762 ÷ 131072     		y = 0.440689086914062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.576438903808594 × 2 - 1) × π
    0.152877807617188 × 3.1415926535     		Λ = 0.48027980
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.440689086914062 × 2 - 1) × π
    0.118621826171875 × 3.1415926535     		Φ = 0.372661457646317
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.48027980} λ = 0.48027980}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.372661457646317))-π/2
    2×atan(1.4515928309856)-π/2
    2×0.967560013855568-π/2
    1.93512002771114-1.57079632675     		φ = 0.36432370
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.48027980} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 27.518006°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.36432370 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 20.874210°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 75555 KachelY 57762 0.48027980 0.36432370 27.518006 20.874210
    Oben rechts KachelX + 1 75556 KachelY 57762 0.48032773 0.36432370 27.520752 20.874210
    Unten links KachelX 75555 KachelY + 1 57763 0.48027980 0.36427891 27.518006 20.871644
    Unten rechts KachelX + 1 75556 KachelY + 1 57763 0.48032773 0.36427891 27.520752 20.871644
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.36432370-0.36427891) × R
    4.47899999999612e-05 × 6371000     		dl = 285.357089999753m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.36432370-0.36427891) × R
    4.47899999999612e-05 × 6371000     		dr = 285.357089999753m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.48027980-0.48032773) × cos(0.36432370) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.934364952328581 × 6371000     		do = 285.319578604083m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.48027980-0.48032773) × cos(0.36427891) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.934380910850598 × 6371000     		du = 285.324451730762m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.36432370)-sin(0.36427891))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.934364952328581-0.934380910850598)×R²
    abs(0.48032773-0.48027980)×1.59585220164127e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.59585220164127e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.59585220164127e-05×40589641000000     		ar = 81418.659974604m²