Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 75555 / 56122
↖ ↑ ↗
← N 25.020906°
E 27.518006°		 ← 276.70 m → N 25.020906°
E 27.520752°		 →
↑
276.76 m
↓
↑
276.76 m
↓
N 25.018418°
E 27.518006°		 ← 276.71 m →
76 581 m²		 N 25.018418°
E 27.520752°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 75555 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 56122 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.576442718505859 y=0.428180694580078 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.576442718505859 × 217)
    floor (0.576442718505859 × 131072)
    floor (75555.5)     		tx = 75555
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.428180694580078 × 217)
    floor (0.428180694580078 × 131072)
    floor (56122.5)     		ty = 56122
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 75555 / 56122 ti = "17/75555/56122"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/75555/56122.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 75555 ÷ 217
    75555 ÷ 131072     		x = 0.576438903808594
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 56122 ÷ 217
    56122 ÷ 131072     		y = 0.428176879882812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.576438903808594 × 2 - 1) × π
    0.152877807617188 × 3.1415926535     		Λ = 0.48027980
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.428176879882812 × 2 - 1) × π
    0.143646240234375 × 3.1415926535     		Φ = 0.451277973023209
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.48027980} λ = 0.48027980}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.451277973023209))-π/2
    2×atan(1.57031772739646)-π/2
    2×1.00374676364509-π/2
    2.00749352729018-1.57079632675     		φ = 0.43669720
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.48027980} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 27.518006°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.43669720 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 25.020906°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 75555 KachelY 56122 0.48027980 0.43669720 27.518006 25.020906
    Oben rechts KachelX + 1 75556 KachelY 56122 0.48032773 0.43669720 27.520752 25.020906
    Unten links KachelX 75555 KachelY + 1 56123 0.48027980 0.43665376 27.518006 25.018418
    Unten rechts KachelX + 1 75556 KachelY + 1 56123 0.48032773 0.43665376 27.520752 25.018418
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.43669720-0.43665376) × R
    4.34400000000057e-05 × 6371000     		dl = 276.756240000036m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.43669720-0.43665376) × R
    4.34400000000057e-05 × 6371000     		dr = 276.756240000036m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.48027980-0.48032773) × cos(0.43669720) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.906153518795749 × 6371000     		do = 276.704877991282m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.48027980-0.48032773) × cos(0.43665376) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.906171890842444 × 6371000     		du = 276.710488116757m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.43669720)-sin(0.43665376))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.906153518795749-0.906171890842444)×R²
    abs(0.48032773-0.48027980)×1.83720466956361e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.83720466956361e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.83720466956361e-05×40589641000000     		ar = 76580.5779532857m²